Matematické Fórum

veronica · 29. 01. 2009 21:28

Dobrý den,
potřebovala bych pomoc s příkalady:
- určete součet řady $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n + 2 }$
- udejte příklad řady s kladnými členy, jejíž součet je $s=\sqrt{2}$ , tady by mě zajímalo, jestli existuje postup, který mě dovede k výsledku. Nad čím se hlavně zamyslet atd.
Děkuji za pomoc

Pavel Brožek

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n + 2 }=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{(n+2)(n+1)}$ ,

kde x=1. Pak si s tim musíš trochu pohrát a derivovat.

K druhé části - můžeme např. vzít geometrickou řadu a pak stačí určit a0 a q tak, aby $\frac{a_0}{1-q}=\sqrt2$ .

Marian · 30. 01. 2009 12:11

↑ BrozekP:↑ veronica:
Není zapotřebí derivování. Stačí uvážit, že platí
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+3n+2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left (\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right )=\nl =\lim_{N\to +\infty}\nosmash\sum_{n=1}^{N}\left (\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right )=\cdots .$
Metoda je známa jako teleskopické sčítání nekonečných řad. Podobný postup je zde.

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2009 21:28

součet řady

#2 29. 01. 2009 21:48 — Editoval BrozekP (29. 01. 2009 21:51)

Re: součet řady

#3 30. 01. 2009 12:11

Re: součet řady

Zápatí