Matematické Fórum

Aquabellla

Pěkné odpoledne přeji.

Pro $\forall y \in \mathbb{R}^{m+1}$ dokažte, že pro funkci $g(z) = \inf_{x \in \mathbb{R}^{m+1}} \{ \sum_{i} \exp^* (x_i) | \sum_{i} x_i = 1, \sum_{i} x_i a^i = z\}$ je konjugovaná funkce: $g^{*}(y) = \sup_{x \in \mathbb{R}^{m+1}} \{ \sum_i \left(x_i \langle a^i, y \rangle - \exp^{*}(x_i) \right) | \sum_i x_i = 1 \}$ ,
kde $\exp^*(x) = \begin{cases} x \ln x - x & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ + \infty & x < 0 \end{cases}$ ; funkce $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ ; body $a^0, \cdots, a^m \in \mathbb{R}^n$ .

Definice konjugované funkce: $f^{*}(y) = \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}} \{ \langle x,y \rangle - f(x) \}$

Zkoušela jsem použít vztah $F^{*}(y) = - \varphi(y)$ , kde $\varphi(y)$ je funkce duální úlohy, $F(x)$ je funkce závislá na parametru a $F^{*}(y)$ je konjugovaná funkce od funkce závislé na parametru.

$\varphi(y) = \inf_{x \in \mathbb{R}^{m+1}} L(x,y) = \inf_{x \in \mathbb{R}^{m+1}} L(x,y) \sum_{i} \exp^* (x_i) + y_1 (\sum_i x_i - 1) + y_2 (\sum_i x_i a^i - z)$ , kde $L(x,y)$ je Lagrangeova funkce.
Dostala jsem se do tvaru: $\varphi(y) = - \sum_i \exp (- y_1 - y_2 a^i) - y_2 z$ , ale nejde se mi dostat do konečného výsledku.
Prosím o jakoukoliv radu, i třeba o jiný postup řešení.

Brano · 25. 01. 2014 13:12

nema tu:
$f^{*}(y) = \sup_{y \in \mathbb{R}^{n}} \{ \langle x,y \rangle - f(x) \}$
nahodou byt toto?
$f^{*}(y) = \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}} \{ \langle x,y \rangle - f(x) \}$

Aquabellla · 25. 01. 2014 13:49

↑ Brano:

Samozřejmě, to byl překlep. Děkuji, opravím to.

Brano · 25. 01. 2014 21:30 — Editoval Brano (25. 01. 2014 21:33)

Podla mna je hlavny problem v tom, ze to pises tak dost "barbarsky". (Teda ak som nieco podstatne neprehliadol.)

Standardne sa definuje symbol $\sup M$ pricom ak $M=\{f(x)|x\in N\}$ tak sa pise bud
$\sup\{f(x)|x\in N\}$ alebo ekvivalentne $\sup_{x\in M}f(x)$
ty pouzivas znacenie vo forme $\sup_{x\in A}\{f(x)|x\in B\}$ pricom tym myslis $\sup\{f(x)|x\in A\cap B\}=\sup_{x\in A\cap B}f(x)$ .
Co je sice pochopitelne, ale dost neprehladne - ktorekolvek zo standardnych znaceni je podla mna lepsie.

Oznacme si
$M(z)=\{x\in R^{m+1}|\sum x_i=1,\ \sum x_ia^i=z\}$ a
$M=\{x\in R^{m+1}|\sum x_i=1\}$
$Z=R^n$
Vsimnime si, ze ak
$z_1,z_2\in Z$ a $z_1\not=z_2$ potom $M(z_1)\cap M(z_2)=\emptyset$
a ze
$\bigcup_{z\in Z}M(z)=M$ .
Ta prva vlastnost nie je moc podstatna pre to co pride, ale ta druha je.

Dalej mame
$g(z)=\inf_{x\in M(z)}\sum\exp^*x_i$
$g^*(y)=\sup_{z\in Z}(\left<z,y\right>-g(z))$
a teda
$g^*(y)=\sup_{z\in Z}\left(\left<z,y\right>-\inf_{x\in M(z)}\sum\exp^*x_i\right)=\sup_{z\in Z}\left(\left<z,y\right>+\sup_{x\in M(z)}\left(-\sum\exp^*x_i\right)\right)=$
$=\sup_{z\in Z}\sup_{x\in M(z)}\left(\left<z,y\right>-\sum\exp^*x_i\right)=\sup_{z\in Z}\sup_{x\in M(z)}\left(\left<\sum x_ia^i,y\right>-\sum\exp^*x_i\right)=$
$=\sup_{x\in M}\left(\sum x_i\left<a^i,y\right>-\sum\exp^*x_i\right)=\sup_{x\in M}\sum\left( x_i\left<a^i,y\right>-\exp^*x_i\right)$
a to je ten tvar co si chcela.

Aquabellla · 29. 01. 2014 12:21

↑ Brano:

Děkuji moc za vysvětlení. S tím značením máš pravdu. Nedokázala jsem předtím ty dvě podmínky dát do sebe, díky za dobrou vychytávku.

Jen jedna věc mi vrtá hlavou... vždy jsem si myslela, že platí $\inf f(x) = \sup [- f(x)]$ , ale tys použil toto: $- \inf f(x) = \sup [- f(x)]$

Brano · 29. 01. 2014 13:03

uvaz mnozinu $M=\{1,2,3\}$ potom $-M=\{-1,-2,-3\}$ cize $\inf M = 1$ a $\sup (-M)= -1$ .

Aquabellla · 29. 01. 2014 16:11

↑ Brano:

Aha, děkuji moc.

Ještě mám k tomuto příkladu podúlohu a nejde mi se dopočítat konce.

Odvoďte tvar konjugované funkce: $g^{*}(y) = 1 + \ln \left( \sum_i \exp \langle a^i,y \rangle \right)$

Zkoušela jsem ho odvodit z tvaru $g^{*}(y) = \sup_{x\in M} \sum_i \left( x_i \left <a^i,y \right> - \exp^*{x_i} \right)$ , ale asi dělám něco špatně.

Brano · 29. 01. 2014 17:26 — Editoval Brano (29. 01. 2014 17:27)

najprv si nacrtni funkciu: $h_i(t)=p_it-\exp^*t=(p_i+1)t-t\ln t$ pre $t>0$ a $p_i=\left<a^i,y\right>$
z toho by si mala nahliadnut (odvodit si), ze ti vlastne staci najst stacionarny bod
$f(x)=\sum h_i(x_i)$ s vazbou $\sum x_i=1$ teda
$h'_i(x_i)=p_i-\ln(x_i)-\lambda=0$ cize
$x_i=Ae^{p_i}$ , kde $A=e^{-\lambda}$ z coho $\sum Ae^{p_i}=1$ teda $A=\frac{1}{\sum e^{p_j}}$ .

Stacionarny bod je $x_i=\frac{e^{p_i}}{\sum e^{p_j}}$ a teda
$f(x)=1+\ln\sum\exp p_i$ co je to co si chcela.

Aquabellla · 29. 01. 2014 17:52

↑ Brano:

Dělala jsem chybu v posledním výpočtu, kde se objevují dvě sumy, ale každá sumuje přes jiné indexy. Díky tvému indexu $j$ mi to došlo. Děkuji moc.

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2014 16:36 — Editoval Aquabellla (25. 01. 2014 13:50)

Konjugovaná funkce

#2 25. 01. 2014 13:12

Re: Konjugovaná funkce

#3 25. 01. 2014 13:49

Re: Konjugovaná funkce

#4 25. 01. 2014 21:30 — Editoval Brano (25. 01. 2014 21:33)

Re: Konjugovaná funkce

#5 29. 01. 2014 12:21

Re: Konjugovaná funkce

#6 29. 01. 2014 13:03

Re: Konjugovaná funkce

#7 29. 01. 2014 16:11

Re: Konjugovaná funkce

#8 29. 01. 2014 17:26 — Editoval Brano (29. 01. 2014 17:27)

Re: Konjugovaná funkce

#9 29. 01. 2014 17:52

Re: Konjugovaná funkce

Zápatí