Matematické Fórum

dodopa · 28. 01. 2014 17:46

Zdravím,

kamarát ma poprosil o pomoc pri vypočítaní nasledovného príkladu, avšak my sme zatiaľ nič také nepreberali, tak som sa rozhodol obrátiť na Vás. Neviem, či som vôbec tému správne pomenoval, ak nie, tak sa ospravedlňujem. Vopred vďaka! :)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/27588_1624166_682694215086738_1795927371_n.jpg

gadgetka · 28. 01. 2014 18:17

substituce za výraz $\sin q+\cos q$ a pak řešit dvě rovnice $\sin q+\cos q = 1$ a $\sin q + \cos q =0$

Honzc · 29. 01. 2014 06:37

↑ dodopa:
Jenom poznámka:
Kdy je součin dvou čísel rove nnule?
Nápověda: Když alespoň jedno z nich je rovno nule.

dodopa · 29. 01. 2014 15:46

↑ Honzc:

Vďaka, to mi je jasné, že je to rovnica v súčinovom tvare, ale ako sa dá zbaviť sin a cos? Alebo o to tam vôbec nejde?

gadgetka · 29. 01. 2014 15:49

Vyřešíš ty dvě rovnice. Nemůžeš se jich zbavit, jde o rovnici, ne o úpravu výrazu. ;)

dodopa · 29. 01. 2014 15:59

↑ gadgetka:

Nejak stále neviem, o čom to je, jediné, čo ma z toho napáda je že výsledky sú 0 a 1? Najhoršie je, že ani kamarát mi to sám nevie vysvetliť, o čo tam vôbec ide.

gadgetka

Nee, musíš vyřešit tyto dvě rovnice:
$\sin q+\cos q = 1$
(kosinus převeď na pravou stranu, umocni obě strany rovnice, sečti, odečti, vytkni kosinus a dostaneš dvě jednoduché rovnice $\cos q=0$ a $\cos q=1$
$\sin q + \cos q =0$
(kosinus převeď na pravou stranu, obě strany vyděl kosinem s podmínkou, že se nesmí rovnat nule a dostaneš jednoduchou rovnici $\text{tg}q=-1$

A pokud to kamarád studuje a neví, tak bude muset studovat důkladněji, aby věděl, protože to jsou základní goniometrické rovnice, žádné záludnosti...

Takjo · 29. 01. 2014 16:10

↑ dodopa:
Dobrý den,
jak je uvedeno výše, musíte řešit dvě goniometrické rovnice:
$\sin q+\cos q = 1$ a $\sin q + \cos q =0$
Výsledkem bude $q=...$ nebo-li máte zjistit čemu se rovná úhel $q$ (nejlépe v radiánech)

dodopa · 29. 01. 2014 18:01

Ďakujem všetkým, čo reagovali. Ja to nedokážem a kamarát to nevie aj tak doriešiť, ale skúsi sa spýtať niekoho v škole. Poprípade by som mal ešte otázku pod akým názvom by som mal ohľadom tohto hľadať nejakú teóriu v googli? :)

janca361 · 29. 01. 2014 18:09

↑ dodopa:
Hledej goniometrické rovnice.

dodopa · 29. 01. 2014 18:12

↑ janca361:

Vďaka idem to skúsiť prelúskať. :)

dodopa · 29. 01. 2014 18:42

↑ gadgetka:

Tej editácii som si všimol až teraz, skúsim sa podľa toho na to pozrieť :) . No matika mu nejak nejde, ale toto dostali za úlohu vyskúšať, avšak nikto to z ich triedy nevie, tak poprosil mňa, tak neviem či si to mám predstaviť tak, že nepočítali podobné príklady, alebo či ide o nedostatočné štúdium celej triedy :)

dodopa · 29. 01. 2014 19:03

↑ gadgetka:

Tak som na základe rád + pomoci internetu so vzorcami dospel k niečomu takémuto pri $\sin q+\cos q=1$ :
$\sin q=1-\cos q$
$\sin ^{2}q=1-2\cos q+\cos ^{2}q$
sin som rozpísal podľa vzorca, ktorý som našiel
$1-\cos q=1-2\cos q+\cos ^{2}q$
$0=-2\cos q+2\cos ^{2}q$
$0=2\cos q*(-1+\cos q)$
a z toho vlastne $\cos q=0\vee \cos q=1$
Pochopil som to správne?

gadgetka · 29. 01. 2014 19:31

$1-\cos^2q=1-2\cos q+\cos ^{2}q$
Ano, správně, asi mám talent ve vysvětlování... :D... jen ti utekla ze zápisu mocnina nad kosinem, ale jen ze zápisu, v hlavě jsi ji měl ;)

A dál pokračujeme jak? Hm?
Kdy je kosinus roven nule a jedné?

dodopa · 29. 01. 2014 20:13 — Editoval dodopa (29. 01. 2014 20:35)

↑ gadgetka:

Tak ten talent rozhodne ;) Nato, že niečo takéto riešim prvýkrát som vďaka vašim radám + cca 10min. štúdiom na internete pochopil niečo takéto. A vlastne nechápem, čo je na tom také ťažké, veď všetko záviselo len od poznania vzorca :D

Hej asi vypadol pri zápise, nekontroloval som to po sebe, nakoľko som sa ponáhľal, ale na papieri aj v hlave som ho mal :)

Teraz vlastne mám na základe tabuliek zistiť, kedy je to rovné jednej a nule? :)

edit: ak sa nemýlim tak $\cos q=0$ ak $q=3\pi /2$ a $\cos q=1$ ak $q=2\pi$ ?

edit2: zatiaľ ešte ten druhý prípad:
$\sin q+\cos q=0$
$\sin q=-\cos q$
Zo vzorca potom: $\frac{\sin q}{\cos q}=-1$ podm. cosq sa nerovná nule
a z toho $\text{tg}q=-1$ Takto? :)

gadgetka · 29. 01. 2014 20:49

Ano. A podmínka se rozepisuje jako
$\cos q\ne 0\Rightarrow q\ne (2k+1)\frac{\pi}{2}$

gadgetka

edit: ak sa nemýlim tak $\cos q=0$ ak $q=3\pi /2$ a $\cos q=1$ ak $q=2\pi$ ?

\cos q = 0\Rightarrow q=(2k+1)\frac{\pi}{2}
když bude $k=0$ , pak $q=\frac{\pi}{2}+2k\pi$
když bude $k=1$ , pak $q=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$

Protože se umocňovalo, musíš udělat zkoušku, a tou zkouškou ti vypadne ten druhý kořen.

$\cos q=1\Rightarrow q=2k\pi$

Výsledkem této části rovnice je:
$q\in \{\frac{\pi}{2}+2k\pi; 2k\pi; k\in Z\}$

dodopa · 29. 01. 2014 20:57

↑ gadgetka:

Vďaka, tá podmienka je zaujímavá...

Len ešte taká malá dilema, netuším kedy je $tg=-1$ :/

Ale inak to je vlastne koniec riešenia príkladu? :)

gadgetka · 29. 01. 2014 21:03

Vyjádříš si, kdy je roven jedné a pak zapřemýšlíš, v jakém intervalu je tangens záporný, a protože tangens má periodu jen 180°, je řešením jen 1 kořen. A mrkni se do soukromých zpráv na tomto fóru. ;)

dodopa · 29. 01. 2014 21:25

↑ gadgetka:

Na správu som potom odpísal :)

dodopa · 29. 01. 2014 21:54

Vďaka všetkým za pomoc, hlavne gadgetke.
Všetkým prajem príjemný zbytok večera :)

jelena · 29. 01. 2014 23:34

Zdravím,

pokud v goniometrických rovnicích vzniká potřeba umocnění, je lepší se tomu vyhnout použitím vzorců pro poloviční úhel:
$\sin x+\cos x = 1$
$2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}=\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}$
Po úpravě se převede na součinový tvar (u goniometrických rovnic může být zkouška obtížná a nepohodlná, jelikož je více kořenů, než např. u rovnic iracionálních). V některých speciálních případech (i zde) se hodí úprava od kolegy Zdeňka. Bohužel, nešlo mi opravit MatWiki, aby bylo čitelná i jiná ukázka od kolegy.

Snad v dohledné době bude i systémová oprava na MatWiki.

dodopa · 30. 01. 2014 19:47

↑ jelena:

Vďaka! :)

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2014 17:46

Trigonometrický výraz?

#2 28. 01. 2014 18:17

Re: Trigonometrický výraz?

#3 29. 01. 2014 06:37

Re: Trigonometrický výraz?

#4 29. 01. 2014 15:46

Re: Trigonometrický výraz?

#5 29. 01. 2014 15:49

Re: Trigonometrický výraz?

#6 29. 01. 2014 15:59

Re: Trigonometrický výraz?

#7 29. 01. 2014 16:09 — Editoval gadgetka (29. 01. 2014 17:04)

Re: Trigonometrický výraz?

#8 29. 01. 2014 16:10

Re: Trigonometrický výraz?

#9 29. 01. 2014 18:01

Re: Trigonometrický výraz?

#10 29. 01. 2014 18:09

Re: Trigonometrický výraz?

#11 29. 01. 2014 18:12

Re: Trigonometrický výraz?

#12 29. 01. 2014 18:42

Re: Trigonometrický výraz?

#13 29. 01. 2014 19:03

Re: Trigonometrický výraz?

#14 29. 01. 2014 19:31

Re: Trigonometrický výraz?

#15 29. 01. 2014 20:13 — Editoval dodopa (29. 01. 2014 20:35)

Re: Trigonometrický výraz?

#16 29. 01. 2014 20:49

Re: Trigonometrický výraz?

#17 29. 01. 2014 20:55 — Editoval gadgetka (29. 01. 2014 20:57)

Re: Trigonometrický výraz?

#18 29. 01. 2014 20:57

Re: Trigonometrický výraz?

#19 29. 01. 2014 21:03

Re: Trigonometrický výraz?

#20 29. 01. 2014 21:25

Re: Trigonometrický výraz?

#21 29. 01. 2014 21:54

Re: Trigonometrický výraz?

#22 29. 01. 2014 23:34

Re: Trigonometrický výraz?

#23 30. 01. 2014 19:47

Re: Trigonometrický výraz?

Zápatí