Matematické Fórum

Elijen · 30. 01. 2009 16:19 — Editoval Elijen (30. 01. 2009 16:20)

Zdravím, pomohl byste někdo prosím s těmito řadami? Nějak nevim jak začít, žádné pravidlo mi na to nějak nepasuje :)

Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci řad:
$\sum_{10}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n+10\sin(n)}$

$\sum_{1}^{\infty}\frac{\sin^2(n)}{n}\cdot(-1)^{n}$

$\sum_{2}^{\infty}\frac{\sin(n+\frac{1}{n})}{\ln(\ln(n))}$

Díky

Marian · 30. 01. 2009 18:03 — Editoval Marian (30. 01. 2009 18:15)

↑ Elijen:

U druhé nekonečné řady můžeš použít Dirichletovo kriterium. Totiž posloupnost $\{b_n\}:=\{1/n\}$ je monotonní a má limitu nula a nekonečná řada $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot \sin ^2(n)$ má omezené parciální součty (to by se muselo ještě dokázat).

Mohlo by se ale využít také faktu, že platí identita
$\sin ^2n=\frac{1}{2}\cdot (1-\cos (2n)).$

Myslím, že u první a třetí řady bude nejvíce práce. Bohužel nemám čas na řešení, nicméně tuším, jak postupovat. Podobnou úlohu jako tvá první řada, už jsem tady na fóru řešili, podrobnosti najdeš zde.

Elijen · 31. 01. 2009 10:51

Díky moc alespoň za menší info ... mohl by mi někdo proším ještě nastínit jak se dokazuje, že má řada omezené částečné součty?

Pavel Brožek · 31. 01. 2009 11:22

↑ Elijen:

Myslím, že často pomůže, když si sinus přepíšeš pomocí exponenciel a dostaneš tam pak částečné součty (komplexních) geometrických posloupností a ty půjdou omezit.

Marian · 31. 01. 2009 14:47 — Editoval Marian (01. 02. 2009 22:11)

↑ Elijen:

Obecná technika dokazování omezenosti parciálních součtů neexistuje. V tomto případě lze ale postupovat tak, ja naznačuje kolega BrozekP. Potřebujeme ukázat, že nezávisle na volbě přirozeného čísla N existuje reálná konstanta K taková, že platí
$\left |\sum_{n=1}^{N}(-1)^n\cdot\sin ^2n\right |<K.$

Lze to provést takto. Předně je známo, že platí identita $\sin ^2n=\frac{1}{2}(1-\cos (2n))$ . Uvedené tvrzení je tedy ekvivalentní s tvrzením o omezenosti součtu
$\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}(-1)^n\cdot (1-\cos (2n))=\frac{1}{2}\delta _N-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}(-1)^n\cdot\cos (2n),$
kde pro každé přirozené číslo N definujeme (a zároveň jednoduše spočteme)

Odtud je vidět omezenost člene $\delta_N$ (nezávisle na N). Stačí tedy ukázat omezenost součtu $\sum_{n=1}^{N}(-1)^n\cdot\cos (2n)$ . Součet této konečné sumy provedeme tak, že si uvědomíme platnost Eulerova vztahu, který je $\exp(\mathrm{i}x)=\cos x+\mathrm{i}\cdot\sin x$ , kde $x\in\mathbb{R}$ je libovolné.

Definujme nyní dva součty:
$C_N:=\sum_{n=1}^{N}(-1)^n\cdot\cos (2n)\qquad\text{a}\qquad S_N:=\sum_{n=1}^{N}(-1)^n\cdot\sin (2n),\qquad\quad N\in\mathbb{N}.$
Pak je

Platí ale

Protože výraz pod odmocninou je omezený, je omezena i suma C_N a tudíž existuje i takové reálné číslo K, že platí
$\left |\sum_{n=1}^{N}(-1)^n\cdot\sin ^2n\right |<K,$
což jsme chtěli dokázat.

Marian · 31. 01. 2009 17:02 — Editoval Marian (03. 02. 2009 11:31)

Ještě se vracím k řešení třetí nekonečné řady. Nejprve se mi zdálo, že člen 1/n v argumentu sinu nebude mít žádný význam, ale není to tak. Neovlivní sice příliš hodnotu výrazu sin(n+1/n), ale může změnit jeho znaménko, a to už jsou vážnější věci u takových typů nepříjemných nekonečných řad. Nicméně, i zde se dá aplikovat Dirichletovo kriteriu. Pokud označíme
$a_n:=\sin\left (n+\frac{1}{n}\right )\qquad\text{a}\qquad b_n:=\frac{1}{\ln (\ln n)},\qquad\forall n\in\mathbb{N},$
pak je jasné, že posloupnost {b_n} je klesající a konverguje k nule. Aby se podařilo aplikovat Dirichletovo kriterium, musí být dokázáno, že parciální součty $\sum_{n=1}^{N}\sin (n+\frac{1}{n})$ jsou omezené.

Omezenost onoho parciálního součtu se mi již podařilo dokázat. Trochu však váhám, jestli bych to neměl přenechat ostatním k řešení v sekci zajímavé úlohy. Celé bych to řešení nadepsal titulkem "Óda na Dirichleta".

Platí vztah
$\sin \left (n+\frac{1}{n}\right )=\sin n\cdot\cos\frac{1}{n}+\cos n\cdot\sin\frac{1}{n}.$
Odtud pro přirozená čísla N je
$\sum_{n=1}^{N}\sin \left (n+\frac{1}{n}\right )=\sum_{n=1}^{N}\left (\sin n\cdot\cos\frac{1}{n}+\cos n\cdot\sin\frac{1}{n}\right ).$
Hypoteticky rozdělím součet na pravé straně na dva součty a dokáži o každém z nich omezenost. Pak má totiž smysl je rozdělit i ve skutečnosti pro libovolně velké N; navíc tím bude prokázána omezenost součtu vlevo.

___________________
1. Součet $\sum_{n=1}^{N}\cos n\cdot\sin\frac{1}{n}$ je omezený.
Důkaz. Označme
$\alpha _n:=\cos n$ a $\beta _n:=\sin\frac{1}{n}$ , $n\in\mathbb{N},\qquad n\ge 2$ .
Pak posloupnost
$\{\beta_n\}_{n=2}^{N},\quad N>1$
je klesající a konverguje k nule. Navíc platí, že součet
$\sum_{n=2}^{N}\alpha_n=\sum_{n=2}^{N}\cos n$
je omezený (v příspěvku výše je uvedeno, jak to provést). Z toho plyne podle Dirichletova kriteria, že nekonečná řada
$\sum_{n=2}^{\infty}\cos n\cdot\sin\frac{1}{n}$
konverguje. To ovšem implikuje (mimo jiné) omezenost částečných součtů.

___________________
2. Součet $\sum_{n=1}^{N}\sin n\cos\frac{1}{n}$ je omezený.
Důkaz. Platí identita

První součet je ale omezený (technika viz výše) a druhý také. To dokážeme tak, že definujeme
$\gamma_n:=\sin n\qquad\text{a}\qquad\delta_n:=1-\cos\frac{1}{n},\qquad\quad \forall n\in\mathbb{N}.$
Součet
$\sum_{n=1}^{N}\gamma_n=\sum_{n=1}^{N}\sin n$
je ale omezený. Na druhou stranu, posloupnost $\{\delta_n\}_{n=1}^{\infty}$ je klesající s limitou nula. Opětovným použitím Dirichletova kriteria máme odtud konvergenci nekonečné řady
$\sum_{n=1}^{\infty}\gamma_n\delta_n=\sum_{n=1}^{\infty}\sin n\cdot\left (1-\cos\frac{1}{n}\right ).$
Proto jsou omezené také částečné součty této nekonečné řady. Odtud a z předchozího plyne, že je omezen také součet
$\sum_{n=1}^{N}\sin n\cdot\cos\frac{1}{n}.$

___________________

3. Z části 1. a 2. je zřejmý fakt, že součet
$\sum_{n=1}^{N}\sin\left (n+\frac{1}{n}\right )$
je také omezený. Konečně odtud teprve plyne konvergence nekonečné řady
$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sin\left (n+\frac{1}{n}\right )}{\ln (\ln n)}.$

Pokud by někoho zajímala grafická podoba parciálního součtů sin(n+1/n) pro n=1 až N v rozemzí N=1 až 100, pak je zde obrázek, který samozřejmě odpovídá dokázanému výsledku.

Elijen · 31. 01. 2009 20:37 — Editoval Elijen (31. 01. 2009 20:38)

Wow, děkuji mnohokrát, Ty s těma řadama vyloženě kouzlíš :)
Snažim se nějak pochopit ten důkaz omezenosti ve druhém postu ↑ Marian:, ale nějak mi nejdou do hlavy tyto dvě rovnosti:

$\sum_{n=1}^{N}(-1)^n\exp(2\mathrm{i}n)=\sum_{n=1}^{N}(-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}n})=\frac{-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}}-(-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}})^{N+1}}{1+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}}}$

Mohl bys je prosím okomentovat? Jinak díky za vyčerpávající řešení.

Marian · 01. 02. 2009 22:03 — Editoval Marian (02. 02. 2009 23:13)

↑ Elijen:
Věřím, že je jasný význam označení exp(x). Jedná se jen o jiné označení exponenciály $\mathrm{e}^x$ .

V oné "rovnosti" je překlep. Má být správně
$\sum_{n=1}^{N}(-1)^n\exp (2\mathrm{i}n)=\left (\sum_{n=1}^{N}(-1)^n\mathrm{e}^{2\mathrm{i}n}\right )=\sum_{n=1}^{N}\left (-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}}\right )^n.$
To je ale součet konečné geometrické řady s kvocientem $-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}}$ . Vzorec pro její součet je
$\sum_{n=1}^{N}z^n=\frac{z-z^{N+1}}{1-z},\qquad\forall z\in\mathbb{C},\quad z\neq 1.$
Dosazením
$z=-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}}$
dostáváš identitu v mém příspěvku.

Dále jsem opravil a snad i mírně zjednodušil důkaz omezenosti C_N tím, že jsem dokazoval omezenost |C_N| ... viz výše.

Elijen · 02. 02. 2009 18:55 — Editoval Elijen (02. 02. 2009 18:57)

exp(x) = e^x je mi jasné, jen jsem si neuvědomil, že tam vytýkáš n-tou mocninu. První část tedy už chápu, jen v té druhé mám pár nejasností.

Co znamená symbol $\Re$ ?
Od kud plynou následující implikace a rovnost? (Možná mi to po objasnění symbolu $\Re$ bude jasné, ale raději se zeptám hned)
$C_N=\Re (C_N+\mathrm{i}\cdot S_N)\quad\Rightarrow\left |C_N\right |\le|C_N+\mathrm{i}\cdot S_N|$
Díky ;)

Marian · 02. 02. 2009 23:10

↑ Elijen:
Je to reálná část komplexního čísla. Přesněji takto ...

Jsou-li $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ a $z:=x+\mathrm{i}\cdot y$ , pak definujeme
$\Re (z):=x,\qquad \Im (z):=y.$
Často se to také označuje jednoduše $\mathrm{Re}\, z$ a $\mathrm{Im}\, z$ . To se ale komplikovaněji zapisuje pomocí kódu v LaTeXu zde na fóru. Pro absolutní hodnotu komplexního čísla z platí vztah
$0\le |z|=\sqrt{\Re ^2(z)+\Im ^2(z)}=\sqrt{x^2+y^2}.$
Snadno odtud vidíš platnost nerovnosti
$|z|=\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{x^2}=|x|.$
Odtud nerovnost $|C_N|\le |C_N+\mathrm{i}\cdot S_N|$ .

Elijen · 03. 02. 2009 11:01

Paráda, už to chápu, děkuji mnohokrát :)

Elijen · 07. 02. 2009 12:40

Ještě moc prosím o pomoc s touto řadou:
$\sum_{n=1}^{\infty}\sin(\frac{1}{n^2+1})n^\alpha$

Pro $\alpha \ge 2$ mi vyšla nenulová limita, tedy, že řada diverguje.
Pro $\alpha < 1$ je to "omezaná*klesající k 0" => řada konverguje.

Je to správně?
A jak to bude pro $\alpha \in [1,2)$ ?

Marian · 07. 02. 2009 13:46

↑ Elijen:
Jedná se o nekonečnou řadu kladných čísel. Pro takové řady lze někdy použít následující tvrzení:

Jestliže $a_n>0$ a $b_n>0$ a platí-li, že existuje vlastní limita
$L:=\lim_{x\to\infty}\nosmash\frac{a_n}{b_n},$
pak číselné řady $\sum a_n$ a $\sum b_n$ zároveň konvergují nebo divergují.

Polož
$a_n:=\sin\left (\frac{1}{n^2+1}\right )\cdot n^{\alpha},\qquad b_n:=n^{\alpha -2},\quad\forall n\in\mathbb{N}.$
Ukaž, že platí L=1 a studuj konvergenci řady s členy b_n.