Matematické Fórum

liamlim

Teď jsem si trochu hrál a odvodil jsem takový zajímavý fakt. Jestli někdo bude chtít, můžete se pokusit tuto úlohu dokázat. Popravdě zajímalo by mě, jakými způsoby se podobné příklady odvozují.

1) Dokažte, že pro libovolné přirozené $n$ existuje celočíselné $k$ takové, že:

$(1^5+1^7)+(2^5+2^7)+(3^5+3^7)+\cdots + (n^5 + n^7) = 2k^4$

2) Dokažte, že pro libovolné přirozené $n$ existuje celočíselné $k$ takové, že:

$(2\cdot 1^5 + 1^3) + (2\cdot 2^5 + 2^3) + (2\cdot 3^5 + 3^3) + \cdots + (2\cdot n^5 + n^3)= 3k^2$

Pozn.: Úloha je řešitelná bez dohledání výpočtu součtu prvních n pátých mocnin a součtu prvních n sedmých mocnin. Jediný vztah, který je potřeba je pro výpočet prvních $n$ čísel. Tedy známý vzorec $1+2+3+\cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

edit_1.: změna druhé mocniny na čtvrtou.
edit_2: přidána druhá úloha, která se řeší velmi podobně jako první

liamlim · 29. 01. 2014 21:24

↑ liamlim:

Úlohy, které jsem vymyslel, asi nikoho nezaujaly. Já ale asi napíšu o tomto tématu nějakou práci, třeba do semináře matematiky. Přijde mi zajímavé, jak spolu všechny součty mocnin souvisí. A že lze pouze z jednoho jediného vzorce $1+2+3+\cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ odvodit hodnoty součtů $\sum_{a=1}^na^k$ pro libovolné $k$ do sedmi (věřím že i více, ale dál jsem se zatím nedostal).

Pro zajímavost uvedu další ze zajímavých vztahů, které jsem odvodil. Pokud zavedu označení $s_k = 1^k+2^k+3^k+\cdots + n^k$ pak platí následující rovnost:

$8s_1^3=3s_5+10s_4-7s_3+2s_2$

Bohužel pouze vím, jak podobné rovnosti odvozovat. Ale pokud se na tuto rovnost dívám, tak vůbec nevím, jak bych dokázal, že něco takového platí. Měl by někdo návod jak při důkazu postupovat?

Brano · 30. 01. 2014 11:13 — Editoval Brano (30. 01. 2014 11:24)

↑ liamlim:
jedine co ma napada je pre 1) si odvodit, ze $\sum_{k=1}^n k^5+k^7=2{n+1 \choose 2}^4$ , pripadne ak to uz clovek vie, tak je este lahsie to indukciou dokazat.

Podobne aj ta 2)

vanok · 30. 01. 2014 12:04

Pozdravujem,
Daju sa pouzit aj zname vzorce pre sucet n clenov postupnosti mocnin na k, ktore pouzivaju Benoulli-ho, alebo aj Stirling-ove cisla. Ale to nepatri do stredoskolskej tematiky.

BakyX · 02. 02. 2014 19:31

↑ liamlim:

Ukážeš ako na to prosím ?

liamlim

↑ BakyX:

Myslíš odvození rovnosti $8s_1^3=3s_5+10s_4-7s_3+2s_2$ ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

pozn_1.: příspěvek dokončím asi po hokeji (dokončeno o pauze)

pozn_2.: ten zmíněný zajímavý tvar by byla rovnost $6s_5 + 2s_3 = 3s_5 + 10s_4 - 7s_3 + 2s_2$ neboli $3s_5 + 9s_3 = 10s_4 + 2s_2$

pozn_3.: text jsem zkopíroval z .tex souboru do kterého si píši poznámky ohledně součtů. Proto ta zmínka u výpočtu $N_2$ na dopočet $s_2$ který lze jednoduše odvodit, ale předpokládám že jej každý zná.

liamlim

Ono abych si předcházejícím příspěvkem neodporoval... Tvrdil jsem, že lze vše odvodit ze "vzorce" $s_1 = \frac{n(n+1)}{2}$ . Za tímto výrokem si pořád stojím. Dokonce, pokud zavedu hodnotu $s_0$ jako součet prvních $n$ nultých mocnin, pak lze veškeré další hodnoty odvodit z této hodnoty $s_0 = n$ . Pokud by někoho zajímala cesta, jak lze k různým rovnostem přijít, tak zde je určitý nástin:

Odvození $s_1$ :

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Odvození $s_2$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Stejným postupem můžu pokračovat pořád dál a vždy budu schopný pomocí prvních $s_k$ součtů odvodit hned ten další. Toto ale není zas tak zajímavé jako hledání různých vztahů pomocí umocňování, atd. Jeden z nich je o příspěvek výše, když jsem pouze $s_1$ umocnil na třetí a vyšla mi zajímavá rovnost ve které vystupovaly $s_1$ , $s_2$ , ... $s_5$ . Ještě zajímavější je že jednoduchým nahrazením $s_1^3$ za $s_1s_3$ - využití $s_3 = s_1^2$ což lze lehce odvodit... - získáme mnohem zajímavější souvislost mezi $s_5$ s $s_3$ a $s_4$ s $s_2$

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2014 12:05 — Editoval liamlim (26. 01. 2014 13:19)

úloha s mocninami

#2 29. 01. 2014 21:24

Re: úloha s mocninami

#3 30. 01. 2014 11:13 — Editoval Brano (30. 01. 2014 11:24)

Re: úloha s mocninami

#4 30. 01. 2014 12:04

Re: úloha s mocninami

#5 02. 02. 2014 19:31

Re: úloha s mocninami

#6 02. 02. 2014 19:40 — Editoval liamlim (02. 02. 2014 20:07)

Re: úloha s mocninami

#7 02. 02. 2014 21:25 — Editoval liamlim (02. 02. 2014 21:30)

Re: úloha s mocninami

Zápatí