Matematické Fórum

Vetešník · 03. 02. 2014 07:47

Ahoj všem,
mám zadanou soustavu tří rovnic o třech neznámých a postupně se dostanu až do fáze, kde soustava vypadá takto
$4x-2y+z=1$
$-12y=-8$
$-7y=-3$

Jak teď postupovat dál, abych dostal do rovnice parametr a vyšlo mi jedno řešení?

Děkuji za odpovědi

Arabela · 03. 02. 2014 09:43

Ahoj ↑ Vetešník:,
sústava, ku ktorej si dospel, evidentne nemá žiadne riešenie. Nenapíšeš zadanie úlohy v pôvodnom znení?

Honzc · 03. 02. 2014 09:46

↑ Vetešník:
To jsi asi někde udělal chybu, protože y nemůže být zároveň 2/3 a také 3/7.
Napiš, prosím tě, celé zadání. A poptom se múůžeme společně zamyslet.

Vetešník · 03. 02. 2014 10:21

právě proto jsem z toho nějak vedle. původní zadání bylo:
$4x-2y+z=-1$
$2x-y+4z=4$
$6x-3y+5z=3$

Arabela · 03. 02. 2014 12:12

↑ Vetešník:
ja by som asi pripočítala prvú rovnicu k druhej. Okamžite vidno, že po tomto úkone budú druhá a tretia rovnica identické; takže nasleduje pripočítanie (-1)násobku druhej rovnice k tretej. Po týchto úpravách máš už dve rovnice o troch neznámych, ktorá má nekonečne veľa riešení. Stačí voliť z = t a vyjadriť aj y a x pomocou t.

Vetešník · 03. 02. 2014 12:44

No podle zadání bych se měl dopracovat k výsledku
$(x, y, z)=(\frac{t}{2}-\frac{4}{7}, t, \frac{9}{7})$
ale nějak se k tomu nemůžu dostat. můžeš prosím napsat celý postup?

vanok · 03. 02. 2014 13:14 — Editoval vanok (03. 02. 2014 13:29)

Ahoj
Po prehodeni prvej a druhej rovnice dostanes v maticovom zapise

2 -1 4|4
4 -2 1|-1 r2- 2 r1
6 -3 5|3 r3-3r1

Naznacene operacie daju
2 -1 4|4
0 0 -7|-9
0 0 -7|-9
treti à druhy riadok su identicke tak system je ekvilentny
2 -1 4|4
0 0 -7|-9
Druha rovnica da $z=\frac{-9}{-7}=\frac 97$
Preto prva rovnica da
$2x-y+4 \cdot \frac 97= 4$
Potom
$2x-y=4-\frac {36}7=\frac {-8}7$
Preto polozme $y=t$ ...parameter
Co da potom
$x=\frac t2+ \frac {-4}{7}$
Co da cakany vysledok

Honzc · 03. 02. 2014 13:31 — Editoval Honzc (03. 02. 2014 13:45)

↑ vanok:
Zdravím,
jenom takové malé upozornění, řádek v matici 0 0 -7|-9 dá hodnotu $z=\frac{9}{7}$

↑ Vetešník:
Při $z=\frac{9}{7}$ a volbě $y=t$ doastaneme ze třetí rovnice $2x-t+4\frac{9}{7}=4$
$x=\frac{t}{2}-\frac{4}{7}$

Vetešník · 03. 02. 2014 13:32

Takto to úplně chápu, moc děkuji, ale nešlo mi to nějak s tím výsledkem a to je výsledek, který nám vyučující dal společně se zadáním.

Když jsme takto u těch parametrů, zeptám se ještě. Když mám zadanou soustavu dvou rovnic o třech neznámých s dvěma parametry a mám určit hodnotu parametru, pro kterou nemá soustava řešení, bude postup stejný jako u soustavy dvou rovnic o třech neznámých s jedním parametrem?

vanok · 03. 02. 2014 13:39 — Editoval vanok (03. 02. 2014 13:40)

↑ Honzc:
Pozorne citas, no islo o preklepy pracovnej verzie, ktore dufam som uz vsetki opravil.

Vetešník · 03. 02. 2014 13:48

↑ Honzc:

už jsem to pochopil, taky jsem dělal zbytečně numerické chyby a proto jsem se nemohl dostat k výsledku.

Mockrát díky...

vanok · 03. 02. 2014 13:56 — Editoval vanok (03. 02. 2014 14:02)

↑ Vetešník:
Parametre treba pouzit, ak hodnost matice systemu je mensia ako pocet neznamych.
Ten parameter mohol byt aj inac vybraty. Napr pre premenu x.
Inac tu asociovany vekt priestor k homogenovanej rovnici ma dim 1.

V pripade dvoch neznamych a 3 rovnic nie je jednoznacne odpoved, zavisi od daneho systemu.

vanok · 03. 02. 2014 14:09 — Editoval vanok (03. 02. 2014 14:10)

↑ Honzc:
Zapis je nebezpecny $4\frac{9}7$ , lebo casto je to dohoda pre $\frac {4.7+9}7$ ( videl som ze je, ci bol pouzivany v cz sk a v rusku) a nie co pouzivas $4\cdot \frac{9}7$

Vetešník · 03. 02. 2014 14:15

↑ vanok:

Zadání je konkrétně taktovéto
Určete, pro jaké hodnoty parametrů a, b ∈ R soustava dvou rovnic
x + 6y − 8z = −4
ax − 9y + 12z = b
s neznámými x, y, z ∈ R nemá řešení.

vanok · 03. 02. 2014 14:40 — Editoval vanok (03. 02. 2014 14:41)

Najprv to treba zjednodusit, preto jednoduchy posteh ma vedie k ooperacii
na druhej rovnici 2r2+3r1
Co da
$x+6y-8z=-4$
$(2a+3)x=2b-12$

To ti umozni urobit diskuziu vdaka druhej rovnici, pre parametre a,b.
A potom ukoncil v kazdom pripade (podla tej diskuzii riesenie).... Tu zasa bude treba novy parameter napr $z=t$

Teraz to uz iste dokazes urobit.
(najdelikatnejsie je najst dobru transformaciu danych rovnic, ale v prikladoch na takej elementarnej urovni je to casto viditelna na prvy pohlad)

Honzc · 04. 02. 2014 06:51

↑ vanok:
Děkuji za upozornění,
ale v kontextu toho, že se dosazuje do rovnice $2x-y+4z=4$ za $z=\frac{9}{7}$ to myslím nemůže být chápáno tak, jak píšeš.

Vetešník · 04. 02. 2014 11:24

↑ vanok:

Teď už by to neměl být problém.

A jestli můžu, tak ještě jak postupovat v případě, že mám v zadání určit hodnotu parametru pro jedno řešení. (3 rovnice, 3 neznámé, 1 parametr)?

vanok · 04. 02. 2014 13:38

↑ Vetešník:
Zasa to zavisi na konkretnom probleme.
Dost vseobecna (ale nie vzdy lahko vyuzitelna ) odpoved je vo vysetreni determinantu systemu.

Vetešník · 04. 02. 2014 13:53

↑ vanok:

A pokud by jsme tedy měli konkrétní příklad a určit parametr, aby bylo právě jedno řešení, mohl by jsi mi to na tomto příkladu popsat?

$ax+y+z=1$
$x+ay+z=1$
$x+y+4z=1$

Moc děkuji za ochotu a za pomoc

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2014 07:47

Soustava rovnic s parametrem

#2 03. 02. 2014 09:43

Re: Soustava rovnic s parametrem

#3 03. 02. 2014 09:46

Re: Soustava rovnic s parametrem

#4 03. 02. 2014 10:21

Re: Soustava rovnic s parametrem

#5 03. 02. 2014 12:12

Re: Soustava rovnic s parametrem

#6 03. 02. 2014 12:44

Re: Soustava rovnic s parametrem

#7 03. 02. 2014 13:14 — Editoval vanok (03. 02. 2014 13:29)

Re: Soustava rovnic s parametrem

#8 03. 02. 2014 13:31 — Editoval Honzc (03. 02. 2014 13:45)

Re: Soustava rovnic s parametrem

#9 03. 02. 2014 13:32

Re: Soustava rovnic s parametrem

#10 03. 02. 2014 13:39 — Editoval vanok (03. 02. 2014 13:40)

Re: Soustava rovnic s parametrem

#11 03. 02. 2014 13:48

Re: Soustava rovnic s parametrem

#12 03. 02. 2014 13:56 — Editoval vanok (03. 02. 2014 14:02)

Re: Soustava rovnic s parametrem

#13 03. 02. 2014 14:09 — Editoval vanok (03. 02. 2014 14:10)

Re: Soustava rovnic s parametrem

#14 03. 02. 2014 14:15

Re: Soustava rovnic s parametrem

#15 03. 02. 2014 14:40 — Editoval vanok (03. 02. 2014 14:41)

Re: Soustava rovnic s parametrem

#16 04. 02. 2014 06:51

Re: Soustava rovnic s parametrem

#17 04. 02. 2014 11:24

Re: Soustava rovnic s parametrem

#18 04. 02. 2014 13:38

Re: Soustava rovnic s parametrem

#19 04. 02. 2014 13:53

Re: Soustava rovnic s parametrem

Zápatí