Matematické Fórum

soldier88 · 04. 02. 2014 19:24

Ahoj, prosil bych o pomoc s tímto příkladem. Mám zjistit zda-li je to fce konvexní či konkávní. $f(x)=x \sin(\ln(x))$ Určil jsem druhou derivaci, která mi vyšla takto $f"(x)=1/x[\cos (\ln (x))-\sin (\ln (x))]$ . První podezřelý bod je 0 a ten druhý nevím jak dopočítat.Vím, že by to mělo být nějak takhle, ale dál už netuším. $[\cos (\ln (x))-\sin (\ln (x))]=0$ Poradil by ste mi prosím někdo? Předem moc děkuj

jelena · 04. 02. 2014 22:58

Zdravím,

doufám, že jsem neudělala chybu při kontrole 2. derivace. Je to myšleno $f^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{x}\cdot [\ldots]$ (hranatou závorku mám stejně).

První podezřelý bod je 0

to asi ne - viz def. obor zadané funkce. Pro řešení $\cos (\ln (x))-\sin (\ln (x))=0$ lze použit substituci $\ln(x)=a$ . Tak se podaří dokončit? Děkuji.

soldier88 · 04. 02. 2014 23:12

Těď jsem si všiml, co jsem napsal :DD Naopak já děkuji! Každopádně pořád si nevím rady. Vyjde mi přeci $cos(a)=sin(a)$ a s tím nevím jak pohnout...

jelena · 04. 02. 2014 23:57

↑ soldier88:

každou metodou řešení goniometrických rovnic. Buď si představit tabulku hodnot goniometrických funkcí - pro které sin a cos jsou stejné. Nebo za podmínky nenulového cos(a) podělit levou a pravou stranu k úpravě tg(a)=1.

Honzc · 05. 02. 2014 07:43 — Editoval Honzc (05. 02. 2014 07:49)

↑ soldier88:
To je věru zajímavá funkce. Úplně nejlepší je to v okolí bodu x=0+
Ale abych ti napověděl
Stacionární body budou pro $x=e^{(\frac{3}{4}\pm k)\pi }$ kde $k=0,1,2...$
Inflexní body pak pro $x=e^{(\frac{1}{4}\pm k)\pi }$ kde $k=0,1,2...$
Funkce není periodická, ale střídají se maxima s minimy (nebo naopak?)
Jinak $\lim_{x\to0^{+}}f(x)=0$
Tedy u funkce se střídá konkávnost s konvexností, body změny jsou inflexní body.

Poznámka:
Nech si vykreslit Wolframem funkci v okolí bodu 0.
Např. Zde a zmenšuj si interval.

jelena · 05. 02. 2014 13:44

↑ Honzc:

Zdravím :-)

Ale abych ti napověděl

:-) neobral jsi spíš kolegu o radost z objevování a hledání? Funkce je opravdu zajímavá - obdobně, jako funkce $f(x)=x+\sin(x)$ , $f(x)=x\cdot \sin(x)$ . Zde je ještě zajímavější - díky vnitřní funkci $h(x)=\ln(x)$ (která má obor hodnot celé R) v argumentu $\sin(h(x))$ máme v podstatě známou funkci sinu na celém R, ovšem na logaritmické škále.

K tomu ještě doplníme násobení x (např. x*sin(x) zajišťuje takové hezké rozkmitání). Ale zde - jelikož násobíme x, které na def. oboru je jen kladné, tak znaménko funkce ovlivňuje pouze sin(ln(x)), ale uvažuji - máme možnost bez WA určit jak přichází funkce ke své limitě v 0+ - zda nad osou x nebo pod osou x? Když už je to:

Úplně nejlepší je to v okolí bodu x=0+

:-)

Honzc · 05. 02. 2014 14:22

↑ jelena:
Zdravím,
to víš nechal jsem se unést tou krásnou funkcí (když na děvčata už to není to, co to bývalo)
Ale

máme možnost bez WA určit jak přichází funkce ke své limitě v 0+ - zda nad osou x nebo pod osou x?

Ono to není ani s WA tak jednoduché.
Ovšem tuto otázku by měli rozřešit studovaní matematici a ne my pouho-pouzí matematičtí amatéři.

vanok · 05. 02. 2014 14:55 — Editoval vanok (05. 02. 2014 16:23)

Poznamka: bez toho aby som riesil cviceni, zda sa mi, ze ucinne a rychle je urobit Taylorov rozvoj dostatocneho radu druhej derivacie danej funkcie. .... No mozno to nic neda.

Rumburak

↑ Honzc:
Ahoj.

Problém

určit, jak přichází funkce $f(x)=x \sin(\ln(x))$ ke své limitě v 0+ - zda nad osou x nebo pod osou x?

není obtížný. Znaménko funkce $\sin t$ se mění v bodech $t_k := k\pi , k \in \mathbb{Z}$ , takže funkce $\sin(\ln(x))$
mění znaménko v těch bodech $x_k , k \in \mathbb{Z}$ , kde $\ln x_k = t_k$ , tedy $x_k := \mathrm{e}^{t_k} = \mathrm{e}^{k\pi} , k \in \mathbb{Z}$ .

Pro $k \to -\infty$ zřejmě $x_k \to 0_+$ (monotonně), takže k libovolnému $\delta > 0$ existuje $m<0$ takové, že
v intervalu $(0, \delta)$ leží všechna $x_k$ pro $k < m$ . Pří tom na některých intervalech $(x_{k-1}, x_k)$ je
$\sin(\ln(x)) > 0$ a tedy $f(x) > 0$ , na sousedních $\sin(\ln(x)) < 0$ a tedy $f(x) < 0$ .

Odtud vyplývá, že funkce $f(x)$ pro $x \to 0_+$ osciluje.

jelena · 05. 02. 2014 19:31

↑ Rumburak:

Ještě zdravím :-) nebyl to problém kolegy ↑ Honzc:, ale můj námět zkoumání.

Problém určit, jak přichází funkce... není obtížný.

Ona nepřichází, ona osciluje - je krásná ve všech ohledech - viz kolega ↑ Honzc: :-)

Honzc · 06. 02. 2014 06:19

↑ Rumburak:
Zdravím a děkuji za vysvětlení,
to co jsi napsal na to jsem také přišel, ale vzhledem k mému matamatickému vzdělání jsem nevěděl, že funkce může v jednostranném okolí bodu oscilovat.

Matematické Fórum

#1 04. 02. 2014 19:24

Konvexnost, Konkávnost

#2 04. 02. 2014 22:58

Re: Konvexnost, Konkávnost

#3 04. 02. 2014 23:12

Re: Konvexnost, Konkávnost

#4 04. 02. 2014 23:57

Re: Konvexnost, Konkávnost

#5 05. 02. 2014 07:43 — Editoval Honzc (05. 02. 2014 07:49)

Re: Konvexnost, Konkávnost

#6 05. 02. 2014 13:44

Re: Konvexnost, Konkávnost

#7 05. 02. 2014 14:22

Re: Konvexnost, Konkávnost

#8 05. 02. 2014 14:55 — Editoval vanok (05. 02. 2014 16:23)

Re: Konvexnost, Konkávnost

#9 05. 02. 2014 16:22 — Editoval Rumburak (05. 02. 2014 16:34)

Re: Konvexnost, Konkávnost

#10 05. 02. 2014 19:31

Re: Konvexnost, Konkávnost

#11 06. 02. 2014 06:19

Re: Konvexnost, Konkávnost

Zápatí