Matematické Fórum

KostraHB · 09. 02. 2014 12:08

Ahoj, vůbec si nejsem jistý integrací vnějších forem a byl bych velmi vděčný za zkontrolování příkladu:

Je dán jednoosý hyperboloid a forma na spočtěte

Nápověda: Hyperbolické funkce splňují a hyperboloid je "podobný" sféře, jeho průsečík s rovinou xy je kružnice.

Zkoušel jsem substituci do válcových souřadnic , forma mi vyšla

stačí teď už jen zintegrovat ?

OiBobik

Ahoj,

nejprve takový hint k intuici: Když integruješ 2-formu na ploše, tj. něco dvoudimenzionálního, asi by ti neměl vycházet trojrozměrný integrál.

Formu $\tau$ máš vyjádřenou správně, akorát se zdá, že není jasné, přes co integruješ - zkus vyjádřit, jak vypadá plocha M v oněch válcových souřadnicích. Z toho by to už mělo jít vykoukat.

KostraHB · 09. 02. 2014 14:52

Jj, něco takového jsem očekával, ale v zápočtové písemce (30.1, nebojte, nechci podvádět) jsem si říkal, že v té formě je a , takže se musí integrovat přes tyhle dvě proměnné a vyzkoušel jsem . Vyšlo mi (nevšiml jsem si té meze pro z a ani teď netuším, jak jí do toho zapojit) a bylo to vyhodnoceno jako špatně.

Ten hyperboloid jsem si vyjádřil jako , ale opravdu netuším přes co a jak integrovat :(
Vím jak si mám představit integraci 0-forem, tím zjišťuju obsah, objem a jejich vícerozměrné analogie, maximálně přenásobené nějakou konstantou, ale jakmile se tam objeví , tak jsem ztracený.
Mám pocit, že bych potřeboval nějakou grafickou představu, ale z teorie jsem toho bohužel moc nevyčetl..

OiBobik

↑ KostraHB:

Ano, relevantní rovnice je $r^2=1+z^2$ neboli $z^2=r^2-1$ . Pak lze integrovat $r$ od $1$ do $\sqrt{2}$ (všimni si, že z oné rovnice plyne, že $|z|<1$ , právě když $r \in (1, \sqrt{2})$ ).

Tedy daný integrál by měl jít spočítat jako

$\int_0^{2\pi}\int_1^{\sqrt{2}}r\sqrt{r^2-1}\d r \d \varphi+\int_0^{2\pi}\int_1^{\sqrt{2}}r$-\sqrt{r^2-1}$\d r \d \varphi$ :

Jde o to, že na části plochy $\{(x,y,z) \in M \; | \; z\geq 0\}$ má hladká funkce $z$ vyjádření $\sqrt{r^2-1}$
a na $\{(x,y,z) \in M \; | \; z < 0\}$ zase $-\sqrt{r^2-1}$ .

(Celkem by to tedy mělo vyjít nula, což není divu, když koukneš na ten hyperboloid a uvědomíš si, že je symetrický podle roviny $z=0$ a že integruješ funkci "výška bodu" na jeho části pro výšky mezi $-1$ a $1$ .)

OiBobik · 10. 02. 2014 07:46

↑ OiBobik:

Upozornění na edit: místo od $0$ se $r$ integruje od $1$ . Jde o to, že $z$ je rovnicí $z^2=r^2-1$ definováno pouze pro $r \geq 1$ , čehož jsem si nevšiml. Na výsledku by to ovšem nemělo nic změnit.

Matematické Fórum

#1 09. 02. 2014 12:08

Integrace vnějších forem

#2 09. 02. 2014 14:09 — Editoval OiBobik (09. 02. 2014 14:09)

Re: Integrace vnějších forem

#3 09. 02. 2014 14:52

Re: Integrace vnějších forem

#4 09. 02. 2014 16:57 — Editoval OiBobik (10. 02. 2014 07:43)

Re: Integrace vnějších forem

#5 10. 02. 2014 07:46

Re: Integrace vnějších forem

Zápatí