Matematické Fórum

gekoncik · 01. 02. 2009 23:05

Ahoj potreboval bych kontrolu tohoto prikladu:

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}%20(cos%20x)%20^{cotg^2%20%20x}%20%3D%201^0%3D1$

Nevim o zadne slozitosti ktera by tam mohla byt, ale je to zkouskovy priklad. Nevidim v tom zadny problem :) Dekuji za pomoct

Marian · 01. 02. 2009 23:09 — Editoval Marian (01. 02. 2009 23:09)

↑ gekoncik:
Je
$\lim_{x\to 0}\cot ^2x=+\infty\neq 0.$

Protože funkce v základu i v exponentu jsou sudé, budeme moci vyšetřovat pouze jednu z jednostranných limit, třeba zprava. Využij toho, že platí (z definice obecné mocniny) $a^b:=\mathrm{e}^{b\cdot\ln a},\quad a>0$ .

gekoncik · 01. 02. 2009 23:34

Ke konci mi tam vzniklo nekonecno je to spravne?

vysel tam na hore cotg a dole taky to se vykratilo a ale zbyla derivace cotg:

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=-\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}%20\frac{1}{sin^2%20x%20}%20%3D%20\infty$

Marian · 01. 02. 2009 23:45

↑ gekoncik:
Není to dobře.

gekoncik · 02. 02. 2009 12:48

Muzes mi prosim trosku vysvetlit ten druhy a treti krok? Jak jsi dal do jmenovatele sin x a pak ti v dalsim kroku zmyzel cos x? Diky

Marian · 02. 02. 2009 12:50 — Editoval Marian (02. 02. 2009 12:51)

↑ gekoncik:Třetí řádek od konce dostaneš aplikací l'Hospitalova pravidla předchozího kroku. A k tomu, proč zmizel cos(x), resp. jeho druhá mocnina, je vysvětlení velmi snadné. Mohu totiž dosadit, protože cos(0)=1. Tím se výpočt zjednoduší. Doufám, že je jasný také zápis $\exp(x)={\mathrm{e}}^x$ .

gekoncik · 02. 02. 2009 12:59

Jakmile delas l'hopitalovo pravidlo tak to chapu je to jen derivovani, ale neni mi jasna ta uprava na: ln(cos x)/sin x.

Marian · 02. 02. 2009 13:27 — Editoval Marian (02. 02. 2009 13:27)

↑ gekoncik:

Možná pomůže toto
$\cot ^2x=\frac{\cos ^2x}{\sin ^2x}.$
NIc jiného jsem nepoužil.

gekoncik · 02. 02. 2009 13:31

Ale mezi druhym a tretim krokem ti zmizi cos x. Proc?

lukaszh

↑ gekoncik:
Pretože ide o limitu súčinu dvoch funkcií, pričom
$y=\cos^2x$
je spojitá v nule a nadobúda hodnotu 1, čiže:
$\cdots\;=\exp$\lim_{x\to 0}\cos ^2x\cdot\frac{\ln (\cos x)}{\sin ^2x}$=\exp$1\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\ln (\cos x)}{\sin ^2x}$$
Mohlo to byť urobené na základe predpokladu, že existujú vlastné limity oboch funkcií v súčine.

Ak
$\lim_{x\to a}u(x)=\alpha\,;\;\alpha\in\mathbb{R}\nl\lim_{x\to a}v(x)=\beta\,;\;\beta\in\mathbb{R}$
potom
$\lim_{x\to a}u(x)v(x)=\alpha\cdot\beta$
Dôkaz si môžeš urobiť sám.

Cheop · 02. 02. 2009 13:39

↑ gekoncik:
Protože $\cos(0)=1\Right\,\cos^2(0)=1$

gekoncik · 02. 02. 2009 13:43

Aha soucin limit :) Uz to chapu diky :)

Matematické Fórum

#1 01. 02. 2009 23:05

Limita cos na cotg

#2 01. 02. 2009 23:09 — Editoval Marian (01. 02. 2009 23:09)

Re: Limita cos na cotg

#3 01. 02. 2009 23:34

Re: Limita cos na cotg

#4 01. 02. 2009 23:45

Re: Limita cos na cotg

#5 02. 02. 2009 12:48

Re: Limita cos na cotg

#6 02. 02. 2009 12:50 — Editoval Marian (02. 02. 2009 12:51)

Re: Limita cos na cotg

#7 02. 02. 2009 12:59

Re: Limita cos na cotg

#8 02. 02. 2009 13:27 — Editoval Marian (02. 02. 2009 13:27)

Re: Limita cos na cotg

#9 02. 02. 2009 13:31

Re: Limita cos na cotg

#10 02. 02. 2009 13:39 — Editoval lukaszh (02. 02. 2009 13:43)

Re: Limita cos na cotg

#11 02. 02. 2009 13:39

Re: Limita cos na cotg

#12 02. 02. 2009 13:43

Re: Limita cos na cotg

Zápatí