Matematické Fórum

dakilla · 14. 12. 2013 18:10

Zdravím, v učebnici od Petákové je příklad na vzdálenost bodu od přímky (12.7- 17-g).
Zadání zní: Je dána krychle A..H, kde a= 4 cm. Vypočítejte vzdálenost bodu H od přímky AScg (bod S je středem hrany CG).
Napadl mě tento postup, bohužel jsem se zasekla a nevím, jak dál, ani jestli tento postup byl správný..
1) Vyznačit si trojúhelník AHScg.
2) Dopocítat stranu AScg z trojúhelníkuvACScg. Ta mi vyšla 6,06 cm.
3)Dopočítat stranu HScg z trojúhelníku HGScg. Ta mi vyšla 5,215 cm.
Ovšem dál nevím, co s tím, nenavrhl by mi tu prosím někdo pokračování, nebo lepší postup? Děkuji
Ps: Doplňování do čtyřúhelníků jsme ještě nedělali.

marnes · 14. 12. 2013 19:13

↑ dakilla:
Nevím jestli lepší, ale tento:
1) umíš vypočítat všechny strany trojúhelníku ASH
2) Heronovým vzorce vypočítat obsah trojúhelníka =S
3) $S=\frac{a\cdot v_{a}}{2}$ vypočítat výšku

TheSchwarzinka95

Našla jsem další řešení před kosinovou větu. Jelikož známe všechny strany trojúhelníku ASH můžeme vypočítat úhel např. u bodu K- vyšel mi 63°26´. V druhém kroku použiju funkci sinus, a neznámou je vzdálenost bodu H od přímky.

Honzc · 25. 02. 2014 07:50 — Editoval Honzc (25. 02. 2014 14:28)

↑ dakilla:
Ukážu ti ještě jeden výpočet.
Protože se jedná o krychli, pak aby se nám lépe počítalo uvažujme krychli o jednotkové hraně.
Výsledek potom jenom vynásobíme skutečnou délkou hrany.
Směrový vektor přímky (úsečky) AH, označme ho např.a. $a=(0,1,1)$
Směrový vektor přímky (úsečky) AS, označme ho např.b. $b=(1,1,\frac{1}{2})=(2,2,1)$
Pro úhel přímek platí vztah: $\cos \alpha =\frac{|a\cdot b|}{|a|\cdot |b|}$
pro náš případ: úhel HAS je tedy $\cos \alpha =\frac{|2\cdot 0+2\cdot 1+1\cdot 1|}{\sqrt{0+1+1}\cdot \sqrt{4+4+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{4}=45^\circ$
Pokud jste nebrali úhel přímek počítaný ze směrových vektorů pak jejich úhel jde lehce spočítat i pomocí kosinové věty:
$\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\frac{3}{2}\sqrt{2}\cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha =45^\circ$
Protože vzdálenost přímek je vlastně vzdálenost bodu H a průsečíku přímky kolmé na úsečku AS spuštěné z tohoto bodu (H) - označme ho P, pak úhel HPG (APH) je pravý $(90^\circ )$
Dostaneme tedy rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník APH s rameny AP a PH a základnou AH, která má délku $|AH|=\sqrt{2}$ a (úhly při základně $45^\circ$ )
Teď už rozhodně není těžké spočítat z délky základny délku ramena PH, což bude i vzdálenost bodu H od úsečky AS.