Matematické Fórum

Aquabellla

Pěkný večer přeji.

Mám ukázat, že $f^{**} = Cf$ pro funkci:
$f(x) = \begin{cases} 1 + x^2 & |x| \ge 1, \\ 0 & |x| < 1. \end{cases}$

Spočetla jsem konvexní obal:
$Cf(x) = \begin{cases} 1 + x^2 & |x| \ge 1 + \sqrt{2}, \\ (2 + 2\sqrt{2})|x| - (2 + 2\sqrt{2}) & 1 \le |x| \le (1 + \sqrt{2}), \\ 0 & |x| \le 1. \end{cases}$
Obrázek je zde:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/35660_Konvexn%25C3%25AD%2Bobal.jpg

Konjugovaná funkce:
$f^{*}(y) = \max \{ \sup_{|x| \ge 1} \left[ xy - 1 - x^2 \right], \sup_{|x| < 1} [xy] \} = \max \{ \left[ \frac{y^2}{4} - 1 \text{ pro } |y| \ge 2 \right], \sup_{|x| < 1} [xy] \}$
Zde je můj problém. Nejde mi správně odvodit konjugovanou funkci pro druhou část funkce $f(x)$ . Snažila jsem se to řešit úvahou a z grafu, ale když se pak stejných postupem snažím vypočítat $f^{**}(x)$ , nikdy se nedostanu k výsledku $Cf(x)$ .

Prosím o jakoukoliv radu, jak se dostat ke správnému řešení.

Brano · 28. 02. 2014 21:21

napis znovu prosim ta definiciu hviezdicky, aby sme vedeli o com sa bavime

Aquabellla · 01. 03. 2014 10:36

↑ Brano:

$f^{*}(y) = \sup_{x \in \mathbb{R}} [\langle xy \rangle - f(x)]$

Brano · 01. 03. 2014 23:37 — Editoval Brano (01. 03. 2014 23:50)

no to vyzera proste len na strasne otravny vypocet - napisem zatial co mi vyslo pre $f^*$ to si porovnaj a ked zase budem mat cas tak napisem $f^{**}$

$g(x,y)=\begin{cases}xy & |x|<1\\xy-1-x^2 & |x|\ge 1\end{cases}$

$\sup_{|x|<1}g(x,y)=|y|$

pre $\sup_{|x|\ge 1}g(x,y)$ polozme $0=\partial_x(xy-1-x^2)=y-2x$ t.j. $x=y/2$ .

Cize ak
a) $|y/2|<1$ potom $\sup_{|x|\ge 1}g(x,y)=|y|-2$ (t.j. hodnota v 1 resp. -1) avsak vzdy plati $|y|-2<|y|$ .
b) $|y/2|\ge 1$ potom $\sup_{|x|\ge 1}g(x,y)=y^2/4-1$ (t.j. hodnota v y/2) a treba zistit kedy $y^2/4-1\ge |y|$ co je normalna kvadraticka nerovnica cize bud $|y|\le 2-2\sqrt{2}$ - co neplati nikdy, alebo $|y|\ge 2+2\sqrt{2}$ (vtedy je aj splnene $|y/2|\ge 1$ )

cize mame
$f^*(y)=\begin{cases}|y| & |y|< 2+2\sqrt{2}\\y^2/4-1 & |y|\ge2+2\sqrt{2}\end{cases}$

PS: ten tvoj konvexny obal sa mi nezda uz hned z obrazka - ved ked spojis bod $B$ s lubovolnym bodom na pravej vetve paraboly, tak dostanes usecku co lezi cela pd grafom a nie nad grafom.
teda nepaci sa mi graf, ale predpis vysiel aj mne taky - len predpokladam, ze v strednom clene mas v podmienke preklep

Aquabellla · 02. 03. 2014 11:03

↑ Brano:

Děkuji moc, konečně jsem výpočet pochopila :-) a opravdu mi vyšlo $f^{**} = Cf$

Obrázek byl jen pro představu, jak to přibližně vypadá. Kreslila jsem ho v geogebře a upravovala v malování, takže ke zkreslení mohlo někde dojít lehko.
Děkuji za upozornění na překlep.

Matematické Fórum

#1 27. 02. 2014 22:32 — Editoval Aquabellla (02. 03. 2014 11:02)

Konvexní obal a druhá konjugovaná funkce

#2 28. 02. 2014 21:21

Re: Konvexní obal a druhá konjugovaná funkce

#3 01. 03. 2014 10:36

Re: Konvexní obal a druhá konjugovaná funkce

#4 01. 03. 2014 23:37 — Editoval Brano (01. 03. 2014 23:50)

Re: Konvexní obal a druhá konjugovaná funkce

#5 02. 03. 2014 11:03

Re: Konvexní obal a druhá konjugovaná funkce

Zápatí