Matematické Fórum

alofokolo

Dobrý večer, potřeboval bych pomoci s příkladem $\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}=\frac {3x+1}2$

Můj postup : Násobil jsem dvěma, takže
$2\sqrt{5x}+2\sqrt{2x-1}=3x+1$

Teď mocnil na druhou
$20x+8\sqrt{5x (2x-1)} +8x-4=9x^{2}+6x+1$

Znovu mocnil na druhou
$8\sqrt{10x^{2}-5x}=9x^{2}-22x+2$

$640x^{2}-320x=81x^{4}+484x^{2}+4-396x^{3}+36x^{2}-88x$

$-81x^{4}+396x^{3}+156x^{2}-232x -4=0$

A teď nevím, jak řešit dál/co jsem udělal špatně..
Předem díky za pomoc.

marnes · 02. 03. 2014 20:36

↑ alofokolo:

řekl bych, že zde je chyba
$8\sqrt{10x^{2}-5x}=9x^{2}-22x+2$ má být

$8\sqrt{10x^{2}-5x}=9x^{2}-22x+5$

alofokolo

↑ marnes:
Nechápu, jaktože jsem si toho nevšiml...

Takže $640x^{2}-320x=81x^{4}+484x^{2}+25-396x^{3}+90x^{2}-220x$

Potom $-81x^{4}+396x^{3}+66x^{2}-100x-25=0$

gadgetka · 03. 03. 2014 00:57

$\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}=\frac {3x+1}2$
Rovnici vynásobíme dvěma:
$2\sqrt{5x}+2\sqrt{2x-1}=3x+1$

A teď si začneme hrát:
$2$\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}$=5x-(2x-1)$
$2$\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}$=$\sqrt{5x}$^2-$\sqrt{2x-1}$^2$
$2$\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}$=$\sqrt{5x}-\sqrt{2x-1}$$\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}$$
$2$\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}$-$\sqrt{5x}-\sqrt{2x-1}$$\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}$=0$
$$\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}$$2-\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}$=0$

1.
$\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}=0 \enspace |^2$
$5x+2\sqrt{5x(2x-1)}+2x-1=0$
$2\sqrt{5x(2x-1)}=1-7x$
$20x(2x-1)=1-14x+49x^2$
$40x^2-20x=1-14x+49x^2$
$9x^2+6x+1=0$
$(3x+1)^2=0$
$x_1=-\frac 13$

2.
$2-\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}=0$
$\sqrt{2x-1}=\sqrt{5x}-2\enspace |^2$
$2x-1=5x-4\sqrt{5x}+4$
$4\sqrt{5x}=3x+5$
$80x=9x^2+30x+25$
$9x^2-50x+25=0$
$(x-5)(9x-5)=0$
$x_2=5$
$x_3=\frac 59$

Zkouška, podmínky a zůstane ti 1 kořen.

marnes · 03. 03. 2014 09:49

↑ gadgetka:
Hezké:-)

gadgetka · 03. 03. 2014 09:53

Děkuji, marnesi, Tvé chvály si velmi cením a přeji Ti krásný den. :)

marnes · 03. 03. 2014 10:10 — Editoval marnes (03. 03. 2014 10:10)

↑ gadgetka:
Ona to byla tak trocha závist:-) Já bych se trápil třeba Hornerem či jinak. Taky hezký den přeji.

jelena · 03. 03. 2014 11:01

Zdravím,

tady u tohoto typu úloh prospěje dívat se na "prostřední členy" vzorce $(a\pm b)^2$ . Viz hned 1. úprava od kolegy nalevo:

alofokolo napsal(a):
$2\sqrt{5x}+2\sqrt{2x-1}=3x+1$

rozdělím do vzorců nalevo a napravo a upravím, abych vzorce našla:
$(2x-1)+2\sqrt{2x-1}+1=5x-2\sqrt{5x}+1$
$(\sqrt{2x-1}+1)^2=(\sqrt{5x}-1)^2$
potom umocnit levou a pravou stranu atd. Tak0 dost často pomáhá "rozdělit" odmocniny nalevo a napravo, po umocnění se navzájem "zlikviduji".

alofokolo · 03. 03. 2014 16:53

↑ gadgetka: ↑ jelena: ↑ marnes:
Děkuji Vám :)

jelena · 03. 03. 2014 20:26

↑ alofokolo:

také děkuji a označím za vyřešené. Taková drobnost k zamyšlení - jak bez výpočtu, jen z definice sudé odmocniny se rozhodnout, že rovnice $\sqrt{5x}+\sqrt{2x-1}=0$ nemá řešení? Děkuji.

gadgetka

Zdravím, jednoduše. ;) Převedením na pravou stranu jedné odmocniny dostaneme mínus před odmocninou, které nemůžeme umocnit... anebo možná i z definičního oboru obou odmocnin, ale to jsem nezkoušela, to jen tipuji. :)

marnes · 03. 03. 2014 21:49

↑ jelena:

$\sqrt{5x}=-\sqrt{2x-1}$ když si to takto přepíšu, tak víme (vidíme), že odmocnina vlevo je vždy číslo nezáporné. No a na pravé vychází vždy záporné. To přeci nemůže nastat,ne? :-)

jelena · 03. 03. 2014 23:36

↑ gadgetka:, ↑ marnes:

děkuji, použila bych, že žádná z odmocnin nemůže být číslo záporné, tedy součtem nalevo nula nenastane. Jedině v případě, že obě odmocniny jsou 0 (takovou hodnotu x však nenajdeme).

No a na pravé vychází vždy záporné.

nebo 0.

to jen, jak ušetřit (1) výpočet v ↑ příspěvku 4:

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2014 20:27 — Editoval alofokolo (02. 03. 2014 20:41)

Iracionání rovnice

#2 02. 03. 2014 20:36

Re: Iracionání rovnice

#3 02. 03. 2014 20:54 — Editoval alofokolo (02. 03. 2014 20:57)

Re: Iracionání rovnice

#4 03. 03. 2014 00:57

Re: Iracionání rovnice

#5 03. 03. 2014 09:49

Re: Iracionání rovnice

#6 03. 03. 2014 09:53

Re: Iracionání rovnice

#7 03. 03. 2014 10:10 — Editoval marnes (03. 03. 2014 10:10)

Re: Iracionání rovnice

#8 03. 03. 2014 11:01

Re: Iracionání rovnice

alofokolo napsal(a):

#9 03. 03. 2014 16:53

Re: Iracionání rovnice

#10 03. 03. 2014 20:26

Re: Iracionání rovnice

#11 03. 03. 2014 20:50 — Editoval gadgetka (03. 03. 2014 20:52)

Re: Iracionání rovnice

#12 03. 03. 2014 21:49

Re: Iracionání rovnice

#13 03. 03. 2014 23:36

Re: Iracionání rovnice

Zápatí