Matematické Fórum

paha154

-

jelena · 03. 03. 2014 20:30

Zdravím,

Toto je prý příklad pro žáka základní školy a já si s tím lámu hlavu už od rána.

to není div - mají jiný pohled na svět.

Můj návrh - začnu s trojúhelníkem na 3 různých vrcholech (neleží na jedné přímce a mají různé barvy dle zadání. Dovnitř trojúhelníku umístím bod libovolné barvy, opět mohu vytvořit trojúhelník splňující požadavek atd.

Předpokládám, že někdo z kolegů bude mít více použitelné řešení.

Rumburak · 04. 03. 2014 12:07

↑ paha154:, ↑ jelena:

Zdravím .

Aby věta platila, přidejme jednoduchý předpoklad, že z daných bodů žádné tři neleží v jedné přímce (asi by se dal zeslabit,
ale to teď neřešme).

Zkusím rozvést myšlenku od kolegyně Jeleny do formálního důkazu.

Nechť $Z$ je množina bodů splňujících předpoklady věty.

Budeme říkat, že bod $x$ patří trojúhelníku $T$ , je-li jeho vrcholem či vnitřním bodem.
O trojúhelníku s vrcholy v množině $Z$ budeme říkat, že je trojbarevný, právě když každý jeho vrchol je obarven jinou barvou.
Označme $M$ množinu všech trojbarevných trojúhelníků. Z předpokladů věty plyne, že $M \ne \emptyset$ .

Je-li $X \in M$ , pak nechť $f(X)$ je počet těch bodů množiny $Z$ , které patří trojúhelníku $X$ , takže vždy je $f(X) \ge 3$ .
Máme dokázat, že existuje trojúhelník $T \in M$ takový, že $f(T) = 3$ (což by znamenalo, že žádný bod množiny $Z$
není jeho vnitřním bodem).

Množina

(0) $F := \{ f(X) : X \in M \}$

je neprázdnou částí množiny všech přirozených čísel a má tedy svůj nejmenší prvek $m$ .

Jde o to dokázat, že $m = 3$ - odtud vyplyne existence trojúhelníka $T \in M$ s vlastností $f(T) = m = 3$ . Dokazujme sporem.
Předpokládejme, že $m > 3$ a $V \in M$ s vrcholy $a, b, c$ je takový, že $f(V) = m$ . To znamená, že uvnitř trojúhelníka $V$
existuje $m-3$ bodů množiny $Z$ , které jsou samozřejmě různy od bodů $a, b, c$ . Je-li $d$ jedním z těchto $m-3$ bodů, pak je
barevně shodný s právě jedním z bodů $a, b, c$ - bez újmy na obecnosti předpokládejme, že s bodem $c$ . Snadno lze nahlédout,
že o trojúhelníku $W$ s vrcholy $a, b, d$ platí následující dvě tvrzení:

(1) $W$ je trojbarevný (tedy $W \in M$ ) ,

(2) každý bod patřící trojúhelníku $W$ patří též trojúhelníku $V$ .

Odtud vyplývá $f(W) \le f(V)$ . Avšak rovněž je zřejmé, že bod $c$ (partřící trojúhelníku $V$ ) nepatří trojúhelníku $W$ ,
proto $f(W) < f(V)$ , takže také $f(W) < m$ . To je ale ve sporu s volbou čísla $m$ jakožto nejmenšího prvku množiny $F$ z (0).

vanok · 04. 03. 2014 13:45 — Editoval vanok (04. 03. 2014 14:12)

Pozdravujem,
Intuitivny neformalny dokaz.
Treba pochopitelne predpokladat, ze aspon jeden trojfarebny trojuholnik
existuje. (pod pojmom trojfarebny trojuholnik, rozumiem taky ktoreho vrcholy su roznej farby aj z jeho obvodom)
Ak mame jeden trojfarebny trojuholnik, co obsahuje farebne body, tak vyber z jedneho z nich, dovoluje vytvorit novy 3jfarebny trojuholnik, ktory obsahuje menej farebnych bodov ako predosly.
Cize po konecnom poctu krokov dostaneme jeden trojfarebny trojuholnik co vyhovuje problemu.
Poznamka:
I ked taketo riesenie malo ziakov najde, ale asi skoro vsetci ho mozu pochopit.

paha154

↑ jelena:, ↑ vanok::
To jsou velice hezké a pochopitelné důkazy, takhle mě nenapadlo se na to dívat. Díky!

↑ Rumburak::
Díky za tento důkaz. Sice si ho ještě musím párkrát přečíst a popřemýšlet, než mi to bude zcela jasné, ale jinak je srozumitelný.

paha154

Ještě bych potřeboval trochu nakopnout, nedochází mi totiž ten závěr toho důkazu...
Jak to, že je to v rozporu?
My předpokládali, že m>3 a vyšlo nám, že f(W)<m, to ale znamená, že můžu najít ještě trojúhelník, který je "podmnožinou" toho trojúhelníku W, ne? Protože my to m=3 měli ještě před tím sporem a pak jsme předpokládali právě, že m>3 a to se nám neodporovalo, ne? Nebo jo a já to v tom prostě nevidím???

Zkrátka tyto dva řádky:

Odtud vyplývá $f(W) \le f(V)$ . Avšak rovněž je zřejmé, že bod $c$ (partřící trojúhelníku $V$ ) nepatří trojúhelníku $W$ ,
proto $f(W) < f(V)$ , takže také $f(W) < m$ . To je ale ve sporu s volbou čísla $m$ jakožto nejmenšího prvku množiny $F$ z (0).

nemůžu pochopit. :-(

check_drummer

Ahoj,
vyhovme ještě kolegovi a nastiňme požadované řešení, která má využívat "maxima nebo minima": Zvolme ze všech trojúhelníků, jehož 3 vrcholy jsou obarveny různou barvou takový, který má minimální obsah. Pak je on tím hledaným trojúhelníkem. (Důkaz je podobný jako důkazy výše, dokážeme sporem.)

Edit: Vidím, že kolega Rumburak myšlenku minima použil (avšak automatické vyhledání selhalo, protože šlo o nejmenší prvek).

Rumburak

↑ paha154:

Číslo $m$ bylo zavedeno jako nejmenší prvek množiny $F$ (na základě věty, že každá neprázdná část množiny přirozených čísel
obsahuje svůj nejmenší prvek, při čemž $F$ je takovou částí). Výsledek $f(W) < m$ odvozený z předpokladu

(P) $m > 3$

však říká, že v množině $F$ byl nalezen prvek menší než $m$ , a sice prvek $f(W)$ (jelikož o nalezeném trojúhelníku $W$ platí
$W \in M$ ) . Pak by ale číslo $m$ nemohlo být nejmenším prvkem množiny $F$ . To je ten spor. Vedl k němu předpoklad (P),
takže tento předpoklad musí být nesprávný, protože ze správných předpokladů by spor nemohl vyplynout.

paha154 · 08. 03. 2014 10:37

OK, už to chápu komplet.
Díky moc všem!!!

Matematické Fórum

#1 03. 03. 2014 18:34 — Editoval paha154 (14. 09. 2014 19:25)

-

#2 03. 03. 2014 20:30

Re: -

#3 04. 03. 2014 12:07

Re: -

#4 04. 03. 2014 13:45 — Editoval vanok (04. 03. 2014 14:12)

Re: -

#5 04. 03. 2014 14:49 — Editoval paha154 (04. 03. 2014 14:53)

Re: -

#6 06. 03. 2014 19:21 — Editoval paha154 (06. 03. 2014 20:14)

Re: -

#7 06. 03. 2014 21:41 — Editoval check_drummer (06. 03. 2014 21:43)

Re: -

#8 07. 03. 2014 09:33 — Editoval Rumburak (07. 03. 2014 10:05)

Re: -

#9 08. 03. 2014 10:37

Re: -

Zápatí