Matematické Fórum

Akcope · 04. 03. 2014 16:24

Zdravím, potřeboval bych vysvětlit princip této metody určování definitnosti, jelikož asi nechápu princip a u většiny příkladu nejsem schopen dojít ke správnému výsledku. Vím že je možné definitnost určit přes Sylvestrovo kritérium a vlastní čísla, ale tyto metody v jsou v některých případech velice nepraktické.

Uvdedu tady tedy na příkladu, s čím mám problém.

Určete charakter kvadratické formy $q(x,y,z) = x^{2}+3y^{2}+6z^{2}-2xy-4xz$

Doplním tedy na čtverec : $q(x,y,z) = (-x+y+2z)^{2}+2y^{2}+2z^{2}-4yz$
A ještě jednou, abych všude dostal kvadráty: $q(x,y,z) = (-x+y+2z)^{2}+(-y+2z)^{2}+y^{2}-2z^{2}$

Odlišná znaménka u dvou kvadrátů implikují, že forma je indefinitní. Nicméně to se neshoduje s výsledkem se sbírce, který tvrdí, že forma je pozitivně semidefinitní.

V čem jsem udělal chybu? Doplnil jsem snad na čtverec špatně? Nebo jsem se vydal špatným směrem? Předem děkuji za odpověď.

Bati · 04. 03. 2014 16:37

Ahoj,
smyslem upravování na čtverec je diagonalizovat příslušnou matici kvadratické formy. Výrazy v závorkách jsou pak použité transformace. Protože na začátku máš 3 souřadnice, nemůžeš na konci dostat 4.
Tedy .

Akcope · 04. 03. 2014 17:17

Bati napsal(a):
Ahoj,
smyslem upravování na čtverec je diagonalizovat příslušnou matici kvadratické formy. Výrazy v závorkách jsou pak použité transformace. Protože na začátku máš 3 souřadnice, nemůžeš na konci dostat 4.
Tedy .

Můžeš prosím upřesnit jaké souřadnice máš na mysli?

Bati · 04. 03. 2014 18:29

↑ Akcope:
Souřadnice $x,y,z$ .
Z výsledku je vidět, že po zavedení nových souřadnic $\alpha,\beta,\gamma$ , které jsou s původními souřadnicemi svázány vztahy $\alpha=-x+y+2z$ , $\beta=\sqrt2(y-z)$ , $\gamma=0$ dostane zadaná kvadratická forma tvar $q(\alpha,\beta,\gamma)={\alpha}^2+{\beta}^2+{\gamma}^2$ .

Akcope · 04. 03. 2014 19:33

Bati napsal(a):
↑ Akcope:
Souřadnice $x,y,z$ .
Z výsledku je vidět, že po zavedení nových souřadnic $\alpha,\beta,\gamma$ , které jsou s původními souřadnicemi svázány vztahy $\alpha=-x+y+2z$ , $\beta=\sqrt2(y-z)$ , $\gamma=0$ dostane zadaná kvadratická forma tvar $q(\alpha,\beta,\gamma)={\alpha}^2+{\beta}^2+{\gamma}^2$ .

Aha, díky.

Matematické Fórum

#1 04. 03. 2014 16:24

Určování definitnosti kvadratických forem doplňením na čtverec

#2 04. 03. 2014 16:37

Re: Určování definitnosti kvadratických forem doplňením na čtverec

#3 04. 03. 2014 16:58 Příspěvek uživatele Rumburak byl skryt uživatelem Rumburak. Důvod: Příspěvek kolegy Bati přišel dříve a je lepší.

#4 04. 03. 2014 17:17

Re: Určování definitnosti kvadratických forem doplňením na čtverec

Bati napsal(a):

#5 04. 03. 2014 18:29

Re: Určování definitnosti kvadratických forem doplňením na čtverec

#6 04. 03. 2014 19:33

Re: Určování definitnosti kvadratických forem doplňením na čtverec

Bati napsal(a):

Zápatí