Matematické Fórum

Sheldon.C · 05. 03. 2014 18:04

Ahoj, moc prosím o pomoc s příkladem.
Zadání: Napište rovnici tečen elipsy, která má rovnici $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}/4 = 1$ , v jejich průsečících s přímkou p: y=-2x. Vypočítala jsem, že D = 8, z čehož mi vzniklo, že body X1,2 = $4\pm 2\sqrt{2}\frac{1}{4}$ . Ale dál vůbec nevím, jak mám udělat tečny elipsy. Děkuji moc za pomoc.

Freedy · 05. 03. 2014 18:08

Rovnice tečny v bodě $T[t_1;t_2]$ k elipse s rovnicí: $\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$ je:
$\frac{(x-m)(t_1-m)}{a^2}+\frac{(y-n)(t_2-n)}{b^2}=1$

takže pouze dosaď ty body. (nekontroloval jsem průsečíky zda jsou správně)

Sheldon.C · 05. 03. 2014 18:12

↑ Freedy:
To jsem samozřejmě dělala, ale vůbec to nevychází

Freedy · 05. 03. 2014 18:37

k: $(x-1)^2+\frac{(y+2)^2}{4}=1$
p: $y=-2x$
$x^2-2x+1 + \frac{4-8x+4x^2}{4}=1$
$2x^2-4x+1 =0$
$x_{1,2}\frac{4\pm \sqrt{16-8}}{4}$
$x_{1,2}1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Nyní dopočítáš ypsilonovou souřadnici k těmto bodům:
x1:
$y= -2(1+\frac{\sqrt{2}}{2})$
$y= -2-\sqrt{2}$

x2:
$y=-2(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$y=-2+\sqrt{2}$

Takže máš 2 body doteku:
$T_1[1+\frac{\sqrt{2}}{2};-2-\sqrt{2}]$
$T_2[1-\frac{\sqrt{2}}{2};-2+\sqrt{2}]$

První tečna v bodě dotyku $T_1[1+\frac{\sqrt{2}}{2};-2-\sqrt{2}]$
$(x-1)(1+\frac{\sqrt{2}}{2}-1) + \frac{(y+2)(-2-\sqrt{2}+2)}{4}=1$
$(x-1)(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{(y+2)(-\sqrt{2})}{4}=1$
$\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{4}y-\frac{\sqrt{2}}{2}=1$
$\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{4}y=1+\sqrt{2}$
$2\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=4+4\sqrt{2}$
_______________________________
druhý bod stejně