Matematické Fórum

Rozulinka

Ahoj, můžete mi prosím zkontrolovat postup této limity, je hodně jednoduchá, ale pokaždý mi učitel ztrhává body za postup.

$\nllim\limits_{x \to \ 0}\frac{sin 5x-sin 3x}{sinx}$

$\frac{sin 5x}{sinx}-\frac{sin 3x}{sinx}=\frac{sin5x}{sin5x}*5-\frac{sin3x}{sin3x}*3=5-3=2$

nebo bude ta 5 a 3 ve jmenovateli a v čitateli před tím sinx?

fmfiain · 02. 02. 2009 17:57

Co sa tika tej koncovej otazky, pradstav si ze je sin x v zatvorke ako samostatny clen, preto sa da zapisat iba (sin x)*5 alebo 5*(sin x) a teda mozme zapisat 5sin x inak to nejde. Co sa tika limity je to limita tzpu 0/0 a teda treba derivovat L'hopitalovim pravidlom. Riesenie ti dam zachvilu

Rozulinka · 02. 02. 2009 18:04

fmfiain napsal(a):
Co sa tika tej koncovej otazky, pradstav si ze je sin x v zatvorke ako samostatny clen, preto sa da zapisat iba (sin x)*5 alebo 5*(sin x) a teda mozme zapisat 5sin x inak to nejde. Co sa tika limity je to limita tzpu 0/0 a teda treba derivovat L'hopitalovim pravidlom. Riesenie ti dam zachvilu

Tak to bude vypadat takhle?
$\frac{5sinx}{5sinx}*5-\frac{3sinx}{3sinx}*3=5-3=2$

fmfiain · 02. 02. 2009 18:07

Rozulinka · 02. 02. 2009 18:21

↑ fmfiain:

hází mně ten odkaz chybu

vosa · 02. 02. 2009 18:41 — Editoval vosa (02. 02. 2009 18:45)

↑ Rozulinka:

ten tvůj výsledek je sice správný, ale postup v obou případech špatný, protože
$\frac{\sin{5x}}{\sin{x}}$ se obecně nerovná $\frac{\sin{5x}}{\sin{5x}}$ ani $\frac{5\sin{x}}{5\sin{x}}$ .
Nemůžeš jen tak přepsat sin(5x) jako 5*sin(x), taková rovnost platí jen pro některá x.

Jinak krom toho postupu, který napsal ↑ fmfiain: by měl fungovat ještě tento:
$\lim_{x \to 0}{\left(\frac{\sin{5x}}{\sin{x}} - \frac{\sin{3x}}{\sin{x}}\right)} = \lim_{x \to 0}{\left(\frac{\sin{5x}}{\sin{x}}\ \frac{5x}{5x} - \frac{\sin{3x}}{\sin{x}}\ \frac{3x}{3x}\right)}=\lim_{x \to 0}\left(5\ \frac{x}{\sin{x}}\ \frac{\sin{5x}}{5x} - {3\ \frac{x}{\sin{x}}\ \frac{\sin{3x}}{3x}\right) = 5-3$

fmfiain · 02. 02. 2009 18:43

Sorry zle som opisal priklad!!

fmfiain · 02. 02. 2009 18:50

éste jedna vec: visiel ti zapis 3x/sin x a po odstraneni limity si dostala do menovatela nulu, taky zapis je neplatny

fmfiain · 02. 02. 2009 18:56

Rozulinka · 02. 02. 2009 19:01

↑ fmfiain:

Ten odkaz mi pořád nejde otevřít :-(

fmfiain · 02. 02. 2009 19:07

toto je rucne napisani postu, neviem v com to chces otvorit

vosa · 02. 02. 2009 19:24

↑ fmfiain:

jak jsi prosim upravil 5*cos(5x) - 3*cos(3x) = cos(10x) - cos(6x) ??

vosa · 02. 02. 2009 19:30

Pokud použiješ pro výpočet l'Hospitalovo pravidlo:
$\lim_{x \to 0}{\frac{\sin{5x}-\sin{3x}}{\sin{x}}=\lim_{x \to 0}{\frac{5\cos{5x}-3\cos{3x}}{\cos{x}}}=\frac{5\cos{(0)}-3\cos{(0)}}{\cos{(0)}}=\frac{5-3}{1} = 2$

fmfiain · 02. 02. 2009 20:10

moja chyba, mas pravdu

vosa · 03. 02. 2009 00:20 — Editoval vosa (03. 02. 2009 00:22)

↑ fmfiain:
No jak znamo $\lim_{x \to 0}{\frac{sin{x}}{x}} = 1$
a platí to i vpřevráceném tvaru :)
$\lim_{x \to 0}{\frac{x}{sin{x}}} = 1$

fmfiain · 03. 02. 2009 18:21

to mas pravdu, ale iba za pripadu ze po odstraneni limity, teda (sin 0)/(0) ti nevadi ta nula v menovateli. Obratene tiez dostanes nulu do menovateva, pretoze sin 0=0.

vosa · 04. 02. 2009 14:31

↑ fmfiain:
Ted ti asi vazne nerozumim :( Jake odstraneni limity? Ja tu limitu neodstranuju ale pocitam, ne?
Jiste ze f(x) = x/sin(x) neni v nule definovana, ale ma v nule limitu rovnou jedne.

fmfiain · 04. 02. 2009 17:10

Mozno mi nieco uslo, ale pokial viem, kym ratame limitu, tak piseme pred vyraz lim x->0, ale finalny vysledok uz nezapisujeme s lim x->0, ale uz len samotny vyraz s dosadenim hodnoty za x, ku ktorej sa limita blizi, ale to sa neda vzdy pouzit, tak vyuzivame L'hopitalovo pravidlo. Ale mozno som nieco zle pochopil, nie som predsa supermat.

vosa · 04. 02. 2009 17:41

↑ fmfiain:

No to nejsme nikdo :)
jenom si nemyslím, že počítání limit spočívá v upravení na limitu funkce, která je v daném bodě definovaná a spojitá, a pak dosadit (jak by se dosazovalo nekonečno? Nabo jak by se počítala jednostranná limita funkce 1/x v nule? )

fmfiain · 04. 02. 2009 17:48

co sa tika 1/x po dosadeni 1/0 som videl upravene na (0/1)/(1/1), cize prevratit 1 pod zlomok. to uz je potom 0/1

vosa · 04. 02. 2009 17:58 — Editoval vosa (04. 02. 2009 17:58)

↑ fmfiain: tohle jsem popravde nepochopila

↑ fmfiain: tak za takovy zapis by me skutecne vyhodili od zkousky, ani bych nevedela jak (a predpokladam, ze s tim, ze sin x jde v nekonecnu k nekonecnu jses jenom prepsal)
Duvod proc jsem tuhle diskuzi rozpoutala byl, ze nechapu, co se ti nelibi na mem postupu (tom prvnim), mne pripada byt v poradku totiz :)

fmfiain · 04. 02. 2009 18:30

Ak by som tu limitu prepisal do formy postupnost sin x/x, pricom je to postupnost od 0 n az po nekonecno, tak by sa postupne zmensovalo cislo az k 0, z coho postupnost od nekonecno po 0, islo by to opacne, pricom sin x je na jednotkovej kruznici, cize zvacsi max na 1, z toho lim = 1. tento postup je ale prilis dlhy a hodil by sa skor ako dokaz. Ako to zistim rychlejsie bez L. pravidla?

vosa · 04. 02. 2009 18:52 — Editoval vosa (04. 02. 2009 18:54)

Mimochodem, ted jsem zjistila, ze uplne stejny priklad tu ↑ Rozulinka: do fora hodila uz pred nejakou dobou http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=4426

jinak ten sin x/x...
Na (0, pi/2) plati: cos x < (sinx /x) < 1, a ze sudosti cos(x) a sin(x)/x plyne, ze stejne plati nerovnosti i na (-pi/2, 0). Pak staci pouzit vetu o limite sevrene fce

Ale nepopiram, ze spocitat to za pomoci L'Hospitala je jednodussi a rychlejsi.

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2009 17:46 — Editoval Rozulinka (02. 02. 2009 18:04)

Limita - kontrola

#2 02. 02. 2009 17:57

Re: Limita - kontrola

#3 02. 02. 2009 18:04

Re: Limita - kontrola

fmfiain napsal(a):

#4 02. 02. 2009 18:07

Re: Limita - kontrola

#5 02. 02. 2009 18:21

Re: Limita - kontrola

#6 02. 02. 2009 18:41 — Editoval vosa (02. 02. 2009 18:45)

Re: Limita - kontrola

#7 02. 02. 2009 18:43

Re: Limita - kontrola

#8 02. 02. 2009 18:50

Re: Limita - kontrola

#9 02. 02. 2009 18:56

Re: Limita - kontrola

#10 02. 02. 2009 19:01

Re: Limita - kontrola

#11 02. 02. 2009 19:07

Re: Limita - kontrola

#12 02. 02. 2009 19:24

Re: Limita - kontrola

#13 02. 02. 2009 19:30

Re: Limita - kontrola

#14 02. 02. 2009 20:10

Re: Limita - kontrola

#15 03. 02. 2009 00:20 — Editoval vosa (03. 02. 2009 00:22)

Re: Limita - kontrola

#16 03. 02. 2009 18:21

Re: Limita - kontrola

#17 04. 02. 2009 14:31

Re: Limita - kontrola

#18 04. 02. 2009 17:10

Re: Limita - kontrola

#19 04. 02. 2009 17:41

Re: Limita - kontrola

#20 04. 02. 2009 17:48

Re: Limita - kontrola

#21 04. 02. 2009 17:58 — Editoval vosa (04. 02. 2009 17:58)

Re: Limita - kontrola

#22 04. 02. 2009 18:30

Re: Limita - kontrola

#23 04. 02. 2009 18:52 — Editoval vosa (04. 02. 2009 18:54)

Re: Limita - kontrola

Zápatí