Matematické Fórum

Sheldon.C · 08. 03. 2014 17:10

Ahoj, moc prosím o pomoc s příkladem ze Sbírky úloh pro gymnázia (Analytická geometrie).
Vypočítejte velikost úhlu, po kterým je vidět kružnice k z bodu R. k $x^{2}+y^{2}+2x-6y-6=0$ : ; $R [3,0]$ .
Příklad jsem počítala už 2x, ale stále se nemůžu dobrat správného výsledku. Stačily by mi pouze souřadnice tečen, které mi vycházejí stále špatně.
Díky moc za pomoc

janca361 · 08. 03. 2014 17:12

↑ Sheldon.C:
Ahoj, napiš jak počítáš a co ti vychází.
Díky.

Sheldon.C · 08. 03. 2014 18:29

Vyjádřila jsem si, že $y_{0}=\frac{4}{3}x_{0}$ a dosadila do rovnice, poté mi vyšlo, že D=5184 => $\sqrt{D}= 72$ . Body mi vyšly: $T1=[3,3]$ a $T2=[\frac{3}{25},-\frac{21}{25}]$ , udělala jsem rovnice tečen a potom si vytáhla normálové vektory rovnic tečen. Ale úhel mi už potřetí vyšel okolo $72^\circ$ a ve výsledcích je $104^\circ$ . Vůbec nevím, kde dělám dokola pořád tu stejnou chybu. Děkuji

Sheldon.C · 08. 03. 2014 18:30

Omlouvám se, $y_{0}= \frac{4}{3}x_{0}-1$

Jj · 08. 03. 2014 21:57

↑ Sheldon.C:

Dobrý večer.
Body dotyku jsou podle mě v pořádku. Řekl bych, že asi počítáte omylem doplňkový úhel (doplněk do 180°).

Sheldon.C · 09. 03. 2014 10:56

Dobrý den, počítám to už počtvrté, ale pořád mi to vychází špatně. Počítám to pomocí funkce cosinus. Jako doplňkový úhel by to také nevycházelo.

Sheldon.C · 09. 03. 2014 11:36

Teď jsem to počítala znovu a po odečtení od $180^\circ$ vyšel správný výsledek. Vůbec ale nevím, proč se to má odečítat? V předchozích příkladech jsme to nikde nedělali.

Sheldon.C · 09. 03. 2014 12:21

$t_{1} v T_{1}[3,3]: x-3=0$
$t_{2} v T_{2}[\frac{3}{25},-\frac{21}{25}]: 7x-24y-21=0$
$n_{t_{1}}=(1,0)$ a $n_{t_{2}}=(7,-24)$

$\cos \varphi = \frac{|1*7 +0*(-24)|}{\sqrt{1}*\sqrt{(7^{2}+24^{2})}}=\frac{7}{25} \Rightarrow \varphi =73^\circ$
Opravdu nevím, proč se dopočítává rozdíl do $180^\circ$ .
Děkuji

Jj · 09. 03. 2014 13:05 — Editoval Jj (09. 03. 2014 13:09)

↑ Sheldon.C:

Řekl bych, že je to normální, záleží na orientaci vektorů, který úhel 'vyjde':

kosinus úhlu vektorů (7,-24) a (1,0) bude $\frac{7\cdot 3 - 24\cdot 0}{\sqrt{7^2+(-24)^2}\cdot\sqrt{3^2}}=\frac{7}{25}\Rightarrow \alpha \doteq 73.7°$

kosinus úhlu vektorů (-7, 24) a (1,0) bude $\frac{-7\cdot 3 + 24\cdot 0}{\sqrt{(-7)^2+24^2}\cdot\sqrt{3^2}}=-\frac{7}{25}\Rightarrow \alpha \doteq 106.3°$

Oba první vektory jsou přitom směrovými vektory tečny 7 x-24 y-21 = 0.

Bývá dobré udělat si náčrtek.

Poznámka: Pro úhel přímek nemusíte "vytahovat" normálové vektory, mají stejný úhel jako jejich směrové vektory (úhly, jejichž ramena jsou na sebe kolmá, jsou shodné).

Edit - doplněno: Odpověď jsem tvořil, když jsem neviděl předcházející příspěvek. Takže jsou některé části "dublované". Už to nebudu upravovat.

Sheldon.C · 09. 03. 2014 13:13

Ale čitatel přece musí být v absolutní hodnotě, tudíž zlomek nemůže vyjít záporné číslo, ne?

Jj · 09. 03. 2014 14:28

↑ Sheldon.C:

Vzoreček pro úhel dvou přímek je sestaven tak, aby obecně dával jejich ostrý úhel. Pokud Vás zajímá jejich tupý úhel (jako u této konkrétní úlohy), provedete dopočet do 180°.

Nebo můžete využít toho, že pro úhel dvou vektorů (jakoby šipek vycházejících z téhož bodu) toto omezení není až tak účelné. Proto se počítá bez absolutní hodnoty a úhly se uvažují v rozmení 0° - 180° (striktně vzato záporný kosinus je i pro úhly ve III. kvadrantu - pak byste obdržela i jejich vypuklý úhel).

Sheldon.C · 09. 03. 2014 22:21

Děkuji moc :) A můžu se ještě zeptám, podle čeho zjistím, zda počítám ostrý nebo tupý úhel?

Honzc · 10. 03. 2014 08:08

↑ Sheldon.C:
Podle toho zda je skalární součin směrových (nebo normálových) vektorů přímek kladný nebo záporný (tj. jaké je znaménko u kosinu).
Ten vzoreček pro úhel dvou přímek (s absolutní hodnotou) totiž vždy dává úhel v rozmezí 0-90 st.
V úloze máš ale vypočítat úhel, pod kterým je vidět elipsa a ten může být samozřejmě i větší než 90 st.

Matematické Fórum

#1 08. 03. 2014 17:10

Kružnice a přímka

#2 08. 03. 2014 17:12

Re: Kružnice a přímka

#3 08. 03. 2014 18:29

Re: Kružnice a přímka

#4 08. 03. 2014 18:30

Re: Kružnice a přímka

#5 08. 03. 2014 21:57

Re: Kružnice a přímka

#6 09. 03. 2014 10:56

Re: Kružnice a přímka

#7 09. 03. 2014 11:36

Re: Kružnice a přímka

#8 09. 03. 2014 12:21

Re: Kružnice a přímka

#9 09. 03. 2014 13:05 — Editoval Jj (09. 03. 2014 13:09)

Re: Kružnice a přímka

#10 09. 03. 2014 13:13

Re: Kružnice a přímka

#11 09. 03. 2014 14:28

Re: Kružnice a přímka

#12 09. 03. 2014 22:21

Re: Kružnice a přímka

#13 10. 03. 2014 08:08

Re: Kružnice a přímka

Zápatí