Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 08. 03. 2014 17:10

Sheldon.C
Příspěvky: 99
Pozice: student
Reputace:   
 

Kružnice a přímka

Ahoj, moc prosím o pomoc s příkladem ze Sbírky úloh pro gymnázia (Analytická geometrie).
Vypočítejte velikost úhlu, po kterým je vidět kružnice k z bodu R. k$x^{2}+y^{2}+2x-6y-6=0$: ; $R [3,0]$.
Příklad jsem počítala už 2x, ale stále se nemůžu dobrat správného výsledku. Stačily by mi pouze souřadnice tečen, které mi vycházejí stále špatně.
Díky moc za pomoc

Offline

 

#2 08. 03. 2014 17:12

janca361
.
Příspěvky: 3284
 

Re: Kružnice a přímka

↑ Sheldon.C:
Ahoj, napiš jak počítáš a co ti vychází.
Díky.

Offline

 

#3 08. 03. 2014 18:29

Sheldon.C
Příspěvky: 99
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Kružnice a přímka

Vyjádřila jsem si, že $y_{0}=\frac{4}{3}x_{0}$ a dosadila do rovnice, poté mi vyšlo, že D=5184 => $\sqrt{D}= 72$. Body mi vyšly: $T1=[3,3]$ a $T2=[\frac{3}{25},-\frac{21}{25}]$, udělala jsem rovnice tečen a potom si vytáhla normálové vektory rovnic tečen. Ale úhel mi už potřetí vyšel okolo $72^\circ $ a ve výsledcích je $104^\circ $. Vůbec nevím, kde dělám dokola pořád tu stejnou chybu. Děkuji

Offline

 

#4 08. 03. 2014 18:30

Sheldon.C
Příspěvky: 99
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Kružnice a přímka

Omlouvám se, $y_{0}= \frac{4}{3}x_{0}-1$

Offline

 

#5 08. 03. 2014 21:57

Jj
Příspěvky: 8751
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   599 
 

Re: Kružnice a přímka

↑ Sheldon.C:

Dobrý večer.
Body dotyku jsou podle mě v pořádku. Řekl bych, že asi počítáte omylem doplňkový úhel (doplněk do 180°).


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#6 09. 03. 2014 10:56

Sheldon.C
Příspěvky: 99
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Kružnice a přímka

Dobrý den, počítám to už počtvrté, ale pořád mi to vychází špatně. Počítám to pomocí funkce cosinus. Jako doplňkový úhel by to také nevycházelo.

Offline

 

#7 09. 03. 2014 11:36

Sheldon.C
Příspěvky: 99
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Kružnice a přímka

Teď jsem to počítala znovu  a po odečtení od $180^\circ $ vyšel správný výsledek. Vůbec ale nevím, proč se to má odečítat? V předchozích příkladech jsme to nikde nedělali.

Offline

 

#8 09. 03. 2014 12:21

Sheldon.C
Příspěvky: 99
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Kružnice a přímka

$t_{1} v  T_{1}[3,3]: x-3=0$
$t_{2} v  T_{2}[\frac{3}{25},-\frac{21}{25}]: 7x-24y-21=0$
$n_{t_{1}}=(1,0) $ a $n_{t_{2}}=(7,-24) $

$\cos \varphi = \frac{|1*7 +0*(-24)|}{\sqrt{1}*\sqrt{(7^{2}+24^{2})}}=\frac{7}{25} \Rightarrow \varphi =73^\circ $
Opravdu nevím, proč se dopočítává rozdíl do $180^\circ $.
Děkuji

Offline

 

#9 09. 03. 2014 13:05 — Editoval Jj (09. 03. 2014 13:09)

Jj
Příspěvky: 8751
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   599 
 

Re: Kružnice a přímka

↑ Sheldon.C:

Řekl bych, že je to normální, záleží na orientaci vektorů, který úhel 'vyjde':

kosinus úhlu vektorů  (7,-24) a (1,0) bude $\frac{7\cdot 3 - 24\cdot 0}{\sqrt{7^2+(-24)^2}\cdot\sqrt{3^2}}=\frac{7}{25}\Rightarrow \alpha \doteq  73.7°$

kosinus úhlu vektorů  (-7, 24) a (1,0) bude $\frac{-7\cdot 3 + 24\cdot 0}{\sqrt{(-7)^2+24^2}\cdot\sqrt{3^2}}=-\frac{7}{25}\Rightarrow \alpha \doteq  106.3°$

Oba první vektory jsou přitom směrovými vektory tečny 7 x-24 y-21 = 0.

Bývá dobré udělat si náčrtek.

Poznámka: Pro úhel přímek nemusíte "vytahovat" normálové vektory, mají stejný úhel jako jejich směrové vektory (úhly, jejichž ramena jsou na sebe kolmá, jsou shodné).

Edit - doplněno: Odpověď jsem tvořil, když jsem neviděl předcházející příspěvek. Takže jsou některé části "dublované". Už to nebudu upravovat.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#10 09. 03. 2014 13:13

Sheldon.C
Příspěvky: 99
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Kružnice a přímka

Ale čitatel přece musí být v absolutní hodnotě, tudíž zlomek nemůže vyjít záporné číslo, ne?

Offline

 

#11 09. 03. 2014 14:28

Jj
Příspěvky: 8751
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   599 
 

Re: Kružnice a přímka

↑ Sheldon.C:

Vzoreček pro úhel dvou přímek je sestaven tak, aby obecně dával jejich ostrý úhel. Pokud Vás zajímá jejich tupý úhel (jako u této konkrétní úlohy), provedete dopočet do 180°.

Nebo můžete využít toho, že pro úhel dvou vektorů (jakoby šipek vycházejících z téhož bodu) toto omezení není až tak účelné. Proto se počítá bez absolutní hodnoty a úhly se uvažují v rozmení 0° - 180° (striktně vzato záporný kosinus je i pro úhly ve III. kvadrantu - pak byste obdržela i jejich vypuklý úhel).


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#12 09. 03. 2014 22:21

Sheldon.C
Příspěvky: 99
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Kružnice a přímka

Děkuji moc :) A můžu se ještě zeptám, podle čeho zjistím, zda počítám ostrý nebo tupý úhel?

Offline

 

#13 10. 03. 2014 08:08

Honzc
Příspěvky: 4517
Reputace:   241 
 

Re: Kružnice a přímka

↑ Sheldon.C:
Podle toho zda je skalární součin směrových (nebo normálových) vektorů přímek kladný nebo záporný (tj. jaké je znaménko u kosinu).
Ten vzoreček pro úhel dvou přímek (s absolutní hodnotou) totiž vždy dává úhel v rozmezí 0-90 st.
V úloze máš ale vypočítat úhel, pod kterým je vidět elipsa a ten může být samozřejmě i větší než 90 st.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson