Matematické Fórum

Martin Krejčí

Může mi prosím někdo vysvětlit jak na derivaci složené funkce a jak rozpoznat která je vnitřní a která vnější?
$y=ln (x^2+2x)$
$y=cos^3(3x^2+2x+1)$

děkuji

lukaszh · 02. 02. 2009 22:33

↑ Martin Krejčí:
Vysvetliť to na "nižšej" úrovni môže byť tak, že to čo je zátvorke je vnútorná zložka. Napríklad máš nejakú funkciu
$\cos\nl\sin\nl\log\nl\exp$
a to čo je vedľa v zátvorke je vnútorná zložka. Ale to neplatí vždy, ešte vo vnútornej zložke môže byť vnútorná zložka. Napríklad funkcia:
$y=2^{\cos\sqrt{2x+1}}$
Je to zloženie funkcií:
$f_1(x)=2x+1\nlf_2(x)=\sqrt{x}\nlf_3(x)=\cos x\nlf_4(x)=2^x$
a zapisuje sa to v poradí:
$$f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1$(x)=2^{\cos\sqrt{2x+1}}$
Teda tá odmocnina má vnútornú zložku lineárnu funkciu, a to celé je vnútorná zložka cosínusu a to celé je vnútorná zložka exponenciálnej funkcie.
Skús na základe tohto rozlíšiť vnútorné zložky tvojich funkcií, aby si bol trošku kreatívnejší :-)

Martin Krejčí

tak? $\frac{1}{(x^2+2x) }*(2x+2)$

lukaszh

↑ Martin Krejčí:
Ne
Ostatní => Odkazy od BrozekP => MAW

Martin Krejčí · 02. 02. 2009 22:48

a u toho druhého je ta takto? $f_1(x)=3x^2x+1\nlf_2(x)=cos^3x$

lukaszh · 02. 02. 2009 23:05

↑ Martin Krejčí:
Nemusíš nutne používať značenie z môjho príspevku, ale áno vnútorná zložka je taká ako si ukázal. Pri tom predchádzajúcom si to už opravil správne :-) Pre teba možno pochopiteľnejšie by bolo označenie:
$u=3x^2+2x+1\nlv=\cos u\nly=v^3$
a teraz to derivovať. Najprv:
$u'=6x+2\nlv'=-\sin u\nl(v^3)'=3v^2$
a potom:
$y'=-(6x+2)3\cos^2(3x^2+2x+1)\sin (3x^2+2x+1)$

Martin Krejčí · 03. 02. 2009 21:17

Děkuji. Aha, takže pořádně prohlédnout zadání. To pořadí derivací zevnitř je nutno dodržet? Mám strach že nepoznám, jak jdou za sebou.

Martin Krejčí

Například fci
$y=\frac{sin x+1}{cos x-1}$
bych derivoval takto:
$y'=\frac{cosx*(cos x-1)-(sin x+1)*(-sin x)}{(cos x-1)^2 }$
no a nakonec jsem v prčicích protože to neumim upravit líp než takto:
$y'=\frac{cosx*-(sin x+1)*(-sin x)}{(cos x-1) }$

this way?

Předem se omlouvám pánům matematikům za svou neschopnost. Budu se vymlouvat na třicet devět let. Jde mi to do hlavy pomalu.

O.o · 03. 02. 2009 21:36 — Editoval O.o (03. 02. 2009 21:37)

↑ Martin Krejčí:

Čitatel je jako derivace součinu, jen místo plus je minus, jmenovatel už není těžký k zapamatování ;).

Ve tvé derivaci ti uteklo znaménko u derivace cos(x)

$f(x) = \frac{\sin(x)+1}{\cos(x)-1} \nl f'(x) = \frac{(\sin(x)+1)'(\cos(x)-1)-[(\sin(x)+1)(\cos(x)-1)']}{(\cos(x)-1)^2} \nl (\sin(x)+1)' = \cos(x) \nl (\cos(x)-1)'=-\sin(x)$

Martin Krejčí

zdravím o5 všechny matematiky. Mám tu jeden příklad a něco jsem s ním udělal. Ovšem nevím, zdali je můj postup dobrý.
$y=x^2\sqrt{x}-x\sqrt[3]{x^2 }$
úprava pro derivaci:
$y=x^2*x^\frac{1}{2} -x*x^\frac{2}{3}=x^\frac{5}{2} -x^\frac{5}{3}$
a výsledek:
$y'=\frac{5}{2}x^\frac{3}{2}-\frac{5}{3}x^\frac{2}{3}=\frac{5}{2}\sqrt{x^3 }-\frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2 }$

je to dobře? popř. kde dělám chybu?

děkuji moc

Antitalent Martin

nechce mě to brát zlomky v exponentu, what's wrong?

marnes · 08. 02. 2009 10:44 — Editoval marnes (08. 02. 2009 10:45)

↑ Martin Krejčí:
Nejdříve si zjednoduš výraz y = x na 2*x na 1/2 - x * x na 2/3 upravíš na
y= x na 5/2 - x na 5/3 a jednotlivě derivuješ
ý = 5/2*x na 3/2 - 5/3*x na 2/3 Tak bych to řešil já a ty to máš dobře

Martin Krejčí · 08. 02. 2009 16:30

Zdravím opět matematiky. Jsem celej tumpachovej z každýho novýho, neznámýho příkladu, např.
$y=ln^2x-ln(lnx)$

Tak a jak to je? Je to složená funkce, ano ale jak na ni?

jsem asi o5 mimo

$y'=2lnx*(\frac{1}{x})^2-\frac{1}{x}(lnx)*(\frac{1}{x})$

nematematik Martin

marnes · 08. 02. 2009 16:53

↑ Martin Krejčí:
Moje verze ý= 2 lnx*(1/x) - (1/lnx)*(1/x)

Katka1088 · 10. 03. 2009 20:42

Prosím, potřebuji se ujisit jestli derivuji správně f(x)=sin(3cos(2sin(4X))). Je výsledek toto 4cos(3sin(2cos(4x)))? děkuji

jelena · 10. 03. 2009 21:25

↑ Katka1088:

Zdravím :-)

myslím, že ne - rozbaluj postupně

- nejdřív zderivuj vnější funkci a postupně se dívej dovnitř, jednotlivé derivace se vynásobí:

derivace sin((3cos(2sin(4X))))*(derivace(3cos(2sin(4X)))*(derivace(2sin(4X))*derivace(4x).

Bude to dost dlouhe a několík *(krát).

Prohlédní si obrázky zde: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=3308

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2009 22:14 — Editoval Martin Krejčí (02. 02. 2009 22:16)

Derivace složené funkce

#2 02. 02. 2009 22:33

Re: Derivace složené funkce

#3 02. 02. 2009 22:34 — Editoval Martin Krejčí (02. 02. 2009 22:41)

Re: Derivace složené funkce

#4 02. 02. 2009 22:37 — Editoval lukaszh (02. 02. 2009 22:37)

Re: Derivace složené funkce

#5 02. 02. 2009 22:48

Re: Derivace složené funkce

#6 02. 02. 2009 23:05

Re: Derivace složené funkce

#7 03. 02. 2009 21:17

Re: Derivace složené funkce

#8 03. 02. 2009 21:28 — Editoval Martin Krejčí (03. 02. 2009 21:47)

Re: Derivace složené funkce

#9 03. 02. 2009 21:36 — Editoval O.o (03. 02. 2009 21:37)

Re: Derivace složené funkce

#10 08. 02. 2009 09:49 — Editoval Martin Krejčí (08. 02. 2009 09:50)

Re: Derivace složené funkce

#11 08. 02. 2009 10:44 — Editoval marnes (08. 02. 2009 10:45)

Re: Derivace složené funkce

#12 08. 02. 2009 16:30

Re: Derivace složené funkce

#13 08. 02. 2009 16:53

Re: Derivace složené funkce

#14 10. 03. 2009 20:42

Re: Derivace složené funkce

#15 10. 03. 2009 21:25

Re: Derivace složené funkce

Zápatí