Matematické Fórum

TerezaG · 17. 03. 2014 18:02

Zdravím :)
Potřebovala bych poradit, jakým způsobem mám řešit příklady typu:

Najděte objem čtyřstěnu ABCD s vrcholy v bodech
$A=[1,3,-1]$
$B=[2,-1,1]$
$C=[0,2,0]$
$D=[3,-1,2]$

Řešila bych nějak pomocí vektorových součinů, podle vzorce, ale je to jen nápad, chtěla bych i pochopit proč co a jak dělám. Stejné zadání mám potom pro obsah trojúhelníku.

Moc děkuji za pomoc.

Freedy · 17. 03. 2014 18:42

Ahoj, objem čtyřstěnu je obsah podstavy krát výška děleno třema. Tak stačí jen zjistit obsah podstavy a výšku. Víš jak na to?

TerezaG · 17. 03. 2014 19:02

↑ Freedy:
Nevím :(
Já jsem to chtěla řešit nějak přes vektory, to by nešlo ?

Jinak jsem zvědavá, jak na to, díky :)

Freedy · 17. 03. 2014 19:17

Dobře, tenhle vzorec jsem v životě nepoužil, tak ho jen zde uvedu. Objem čtyřstěnu přes vektory je roven šestině smíšeného součinu:
$V=\frac{(u \times \vec{v})\cdot\vec{w}}{6}$
Ty tři vektory = z jednoho bodu veď vektory ke zbylým třem bodům

TerezaG · 17. 03. 2014 19:34

↑ Freedy:
Dobře, to je ale zdá se jednodušší cesta, jak to jde tedy jinak ? :)

TerezaG · 18. 03. 2014 11:37

↑ Freedy:
Ještě k těm vektorům by mě zajímalo, jakým způsobem je mám hledat. Stačí jednoduše vzít D-A, C-A, B-A ? ... nebo můžu zvolit jakoukoliv jinou kombinaci tak, abych dostala 3 vektory ?

Děkuji.

Jj · 18. 03. 2014 12:33 — Editoval Jj (18. 03. 2014 12:43)

↑ TerezaG:

Dobrý den,
řekl bych, že ano.

Poznámky:

Vzorec pro objem čtyřstěnu tady ↑ Freedy: je třeba vzít v absolutní hodnotě.

Jednoduše se to spočítá determinantem:

$V=abs$\frac{(u \times \vec{v})\cdot\vec{w}}{6}$=abs$\frac{1}{6} \begin{vmatrix} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ w_x & w_y & w_z \end{vmatrix}$$

Bez koeficientu 1/6 se jedná o objem rovnoběžnostěnu z vektorů u, v, w.

Rumburak · 18. 03. 2014 15:49

↑ TerezaG:
Ahoj.
Odvození vzorce pomocí trojného integrálu je naznačeno v tomto vlákně.

TerezaG · 18. 03. 2014 18:24

↑ Jj:
Děkuji, zajímalo by mě, co znamená člen $abs$ ?

TerezaG · 18. 03. 2014 18:26

↑ Rumburak:
Pomocí trojného integrálu asi také vede cesta, ale toto jsme na cvičení bohužel ještě nedělali. Tak to právě zkouším přes vektory.
Jde to tedy i jinak ? ...nebo jen pouze pomocí integrálu, nebo výše zmíněného vzorce a determinantu?

Jaký by byl potom tedy vztah pro obsah trojúhelníku?

Děkuji.

vanok · 18. 03. 2014 18:40 — Editoval vanok (18. 03. 2014 18:42)

Poznamka:
Toto je uzitocne vediet
http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product

Sk/cz meno neviem
Preklad by chcel to volat: trojity sucin, alebo aj miesany sucin, ako aj "box product "

TerezaG · 18. 03. 2014 18:43

↑ vanok:
Moc tomu nerozumím, chtěla by to vysvětlit spíše polopatě :)

vanok · 18. 03. 2014 18:58

↑ TerezaG:
Po lopate:
Ide o popis situacie toto obrazku
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Paral … volume.svg

Jj · 18. 03. 2014 22:18

↑ TerezaG:

abs(x) = |x|

↑ vanok:

Ve škole jsme používali termín "smíšený součin"

TerezaG · 18. 03. 2014 22:22

↑ Jj:
Bude lepší, když budu tápat i s čísly :) ...na tom to lépe pochopím.
Mé řešení dorazí za chvíli.

Děkuji

TerezaG · 19. 03. 2014 00:54

↑ Jj:
Tak jsem počítala a pomocí determinantu mi vše skvěle vychází:

Po dosazení souřadnic vektorů (které jsem získala jako D-A, C-A, B-A) do determinantu mi vyšlo : $V= \frac{1}{6}\cdot 7$ , což je správně.
Za $abs$ jsem nedosadila nic, tudíž stále nechápu ten význam, co je to smíšený součin, tomu rozumím, ale tomuto bohužel, ne.

Stejně tak bych tedy mohla řešit obsah trojuhelníku, pokud mám zadány 3 body, z těch vypočítám 2 vektory a potom ?

Moc moc děkuji :)

Honzc · 19. 03. 2014 06:45 — Editoval Honzc (19. 03. 2014 07:39)

↑ TerezaG:
$abs$ znamená absolutní hodnotu
To jste ve škole už určitě brali. např. abs(3)=3, abs(-3)=3
On totiž ten vzorec co ti napsal ↑ Jj: záleží na tom, jak ty vektory zvolíš a pokud by tam nebyla ta absolutní hodnota, tak by se mohlo stát, že ti výsledek vyjde záporné číslo. A to uznej není dobré, když máš vypočítat objem, který je určitě větší než nula (tedy kladný)
Ještě existuje jeden vzoreček (je to vlastně jenom trochu rozepsaný vzoreček od ↑ Jj:)
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/07917_deter1.jpg

Obsah trojúhelníku podobně

nebo z vektorů
$P=\frac{1}{2}\begin{Vmatrix} x_{A}-x_{B} & y_{A}-y_{B}\\ x_{A}-x_{C} & y_{A}-y_{C} \end{Vmatrix}$

Rumburak · 19. 03. 2014 09:32

↑ TerezaG:

Snažil jsem se reagovat na přání

... chtěla bych i pochopit proč co a jak dělám.

,
což je v matematice to nejdůležitěší. Pokud jste ovšem trojné integrály (ještě) neprobírali, pak problém s pochopením
asi odstraněn nebude.

TerezaG · 19. 03. 2014 18:25

↑ Honzc:
Už vše chápu, moc moc děkuji všem za pomoc :)

Takže pokud bych měla vysvětlit princip řešení, tak to odůvodním pomocí těch vektorů v krychli, viz obrázek v odkazu a a prostě uvedu vzorec.
Je to tedy krom ještě integrálu jediná možnost, jak toto řešit ?

Moc děkuji.

TerezaG · 21. 03. 2014 15:39

↑ Honzc:

Prosím, mám ještě dotaz, pokud mám i z-ovou souřadnici, jakým způsobem budu řešit ? Zde je to uvedeno pouze pro x a y. S tím z mě to teď mate.

Děkuji.

Honzc · 24. 03. 2014 08:47 — Editoval Honzc (25. 03. 2014 07:54)

↑ TerezaG:
Obsah trojúhelníka ABC je roven jedné polovině délky vektoru, který vznikne jako vektorový součin vektorů AB a AC
Tedy máme vektory
$\vec{AB}=b=(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A})=(b_{1},b_{2},b_{3})$
$\vec{AC}=c=(x_{C}-x_{A},y_{C}-y_{A},z_{C}-z_{A})=(c_{1},c_{2},c_{3})$
Pak vektor a (vektorový součin vektorů b,c) je roven
$a=\left( \begin{vmatrix} b_{2} & b_{3}\\ c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} b_{3} & b_{1}\\ c_{3} & c_{1} \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} b_{1} & b_{2}\\ c_{1} & c_{2} \end{vmatrix}\right)=(a_{1},a_{2},a_{3})$
A plocha trojúhelníka je: $P=\frac{1}{2}\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

TerezaG · 24. 03. 2014 18:35

↑ Honzc:
Chápu, moc děkuji :))

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2014 18:02

Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#2 17. 03. 2014 18:42

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#3 17. 03. 2014 19:02

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#4 17. 03. 2014 19:17

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#5 17. 03. 2014 19:34

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#6 18. 03. 2014 11:37

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#7 18. 03. 2014 12:33 — Editoval Jj (18. 03. 2014 12:43)

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#8 18. 03. 2014 15:49

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#9 18. 03. 2014 18:24

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#10 18. 03. 2014 18:26

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#11 18. 03. 2014 18:40 — Editoval vanok (18. 03. 2014 18:42)

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#12 18. 03. 2014 18:43

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#13 18. 03. 2014 18:58

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#14 18. 03. 2014 22:18

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#15 18. 03. 2014 22:22

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#16 19. 03. 2014 00:54

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#17 19. 03. 2014 06:45 — Editoval Honzc (19. 03. 2014 07:39)

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#18 19. 03. 2014 09:32

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#19 19. 03. 2014 18:25

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#20 21. 03. 2014 15:39

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#21 24. 03. 2014 08:47 — Editoval Honzc (25. 03. 2014 07:54)

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

#22 24. 03. 2014 18:35

Re: Obsah trojuhelníku / objem čtyřstěnu

Zápatí