Matematické Fórum

aspk94 · 18. 03. 2014 17:24

Prosim pomozte mi rozkladem kvadratickeho trojclenu...

Mam priklad:

x²-7x+12=0

P = - 7
Q = 12

x1 + x2 = 7 (3+4)

X1 * X2 = 12 (3*4)

No a ted nevim jak dal postupovat....

Prosim vysvetlete mi to...dekuji

janca361 · 18. 03. 2014 17:41

↑ aspk94:
$x_1=3$
$x_2=4$

$(x-x_1)(x-x_2)=0$

Dosadíš a hotovo

Freedy · 18. 03. 2014 17:43

Ahoj,

přesně jak si uved.
Součet musí být
x1 + x2 = -7
součin musí být
x1 * x2 = 12

Takže můžeš jednoduše zjistit že to nastává pro čísla
x1 = -4
x2 = -3
Protože platí
-4 - 3 = -7
(-4) * (-3) = 12

$(x-4)(x-3)$
zpětným roznásobením můžeš zjistit že:
$(x-4)(x-3)=x^2-3x-4x+12 = x^2-7x+12$

vanok · 18. 03. 2014 17:45 — Editoval vanok (18. 03. 2014 17:47)

Ahoj ↑ aspk94:,
Mozes postupovat tak ze doplnis dva prve cleny na stvorec
$x^2-7x=(x-\frac 72)^2-\frac {49}4$ tak ze odeberes pridat clen
Dosadit to do tvojho polynomu co da
$(x-\frac 72)^2-\frac {49}4 +12=...$
Upravis
$(x-\frac 72)^2-\frac 14=(x-\frac 72)^2-(\frac 12)^2$
a rozlozis na sucin.( podla znameho vzorca)

vanok · 18. 03. 2014 17:54 — Editoval vanok (18. 03. 2014 18:00)

Poznamka:
V uvodnom texte je chyba znamienka.
Malo by byt x1+x2=-(-7)=7

Ahoj ↑ Freedy:,

Vychodne relacia maju chybu
Tak len komentujem princip tvojho riesenia.
tvoja metoda spociva na uhadnuti x1, x2
( i ked zabudas na riesenia x1=3, x2=4,... po oprave znamienok.... co tu vela nemeni na veci, ale treba to povedat).
Tvoj postup moze byt pouzitelny, ak text cvicenia da vediet, ze dany polynom ma cela korene.
Treba mysliet na kolegov co nevedia tak dobre hadat riesenia rovnic ako ty.

janca361 · 18. 03. 2014 17:55

↑ vanok:
Ne, že by tvůj postup byl špatně, ale na SŠ (aspoň u nás) se více používají Vietovy vzorce.
Úprava na čtverec se používá při úpravě kvadratického výrazu.

janca361 · 18. 03. 2014 17:57

Ještě jedna metoda: Normálně vyřešit kvadratickou rovnici (přes disktiminant) a dostaneš opět $x_1$ a $x_2$ a dosadíš do $(x-x_1)(x-x_2)=0$

Tedy neznalost Vietovych vzorců se dá řešit, ale zabere to asi o trochu víc času.
Já tak funguju, hádat součty a součiny mi nějak nejde.

vanok · 18. 03. 2014 18:05 — Editoval vanok (18. 03. 2014 18:13)

↑ janca361:
Mas pravdu, lebo to hadanie vadi niektorym inteligentnym ziakom,
preto som uviedol doplnenie stvorca, co nie je nic ine ako dokaz co vedie k pojmu diskriminant. ( dokaz je casto uzitocnejsi ako vysledok naspamet no ale ak to ziaci vedia, nemam nic proti tomu)
Precitaj si aj ine komentare co som napisal vyssie.

Co sa tyka Viète-ovych vzorcov, tiez je uzitocne vediet,
ze roznasobit $(x-x_1)(x-x_2)$ da $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$ co da okamzite tie vzorce.

janca361 · 18. 03. 2014 18:15

↑ vanok:
Nevím, jestli jsem inteligentní žák, ale Vietovy vzorce nemám ráda. Právě kvůli hádání, potom je třeba někde otočit znaménka, aby to vycházelo. Ač někdo možná řekne, že to není nejrychlejší, tak používám diskriminant k výpočtu kořenů, jsem si tím jistější. A už taky vzhledem k tomu, že si vztahy $x_1 \cdot x_2=X$ a $x_1 +x_2=Y$ si musím vždy napsat a nejsem si jistá, kde má být vpravo mínus. Takže už při tomto psaní to snižuje efektivitu. Nedokážu řešit takové věci zpaměti.

Jinak u nás se diskriminant odvozoval :) Takže víme o nějakém smyslu a ne, že si to někdy někdo vymyslel a kdo ví jestli to platí...

vanok · 18. 03. 2014 18:22 — Editoval vanok (18. 03. 2014 18:33)

↑ janca361:
Vyborne.

Ale v pripade ze by si vedela, ze korene su cele cisla, by ti to nevadilo hladat vdaka tomu suctu a sucinu. ( ale to uz nie je hadanie ale dobra metoda)

A existuje este jedna metoda:
Nahodou vidis ze 3 je koren tvojej rovnice ( a ty si nepametas na toho Vieta)
Ale vies co je ta factorizacia ktoru mas dostat.
Tak napises
$x^2-7x+12=(x-3)(x-x_2)$
Co da
$x^2-7x+12=x^2-(3+x_2)x+3x_2$

Dva identicke polynomy maju identicke koeficienty, co da....

A takyto ziak ( asi lenivy sa ucit vzorce) si zasluzi ( podla mna) najlepsiu znamku. Ze vies preco!

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2014 17:24

rozklad kvadratickeho trojclenu na soucin

#2 18. 03. 2014 17:41

Re: rozklad kvadratickeho trojclenu na soucin

#3 18. 03. 2014 17:43

Re: rozklad kvadratickeho trojclenu na soucin

#4 18. 03. 2014 17:45 — Editoval vanok (18. 03. 2014 17:47)

Re: rozklad kvadratickeho trojclenu na soucin

#5 18. 03. 2014 17:54 — Editoval vanok (18. 03. 2014 18:00)

Re: rozklad kvadratickeho trojclenu na soucin

#6 18. 03. 2014 17:55

Re: rozklad kvadratickeho trojclenu na soucin

#7 18. 03. 2014 17:57

Re: rozklad kvadratickeho trojclenu na soucin

#8 18. 03. 2014 18:05 — Editoval vanok (18. 03. 2014 18:13)

Re: rozklad kvadratickeho trojclenu na soucin

#9 18. 03. 2014 18:15

Re: rozklad kvadratickeho trojclenu na soucin

#10 18. 03. 2014 18:22 — Editoval vanok (18. 03. 2014 18:33)

Re: rozklad kvadratickeho trojclenu na soucin

Zápatí