Matematické Fórum

jelinekgreen · 19. 03. 2014 21:28

Ahoj, potřeboval bych pomoc s příkladem. $\sqrt{2^{x}}-\sqrt{12^{x-2}}=\sqrt{3^{x-2}}$ Nevím, zda začít jako s iracionální či exponenciální rovnicí, či je to jedno? Každopádně se nemůžu dostat k výsledku. Který je 2 mimochodem.

Byl bych rád za nakopnutí. A radu co obecně dělat, když mám u exponenciálních rovnic na jedné straně součin dvou různých základů.

Děkuji :)

janca361 · 19. 03. 2014 21:32

↑ jelinekgreen:
Prvně bych se u takových příkladů dívala, zda není možné provést substituci - tady nic vhodného není.
Tahže zbavit odmocnin, tj. umocnit "na druhou" - budou nějaké podmínky?
A potom vznikne exponenciální rovnice a tu řešit.

Bati · 19. 03. 2014 21:53

↑ janca361:
Protože $\sqrt{2^x}=2^{\frac{x}2}$ , není třeba nic umocňovat.

jelinekgreen · 19. 03. 2014 22:07

Já už to zkoušel tak i tak a nic.
$2^{x}-2\sqrt{2^{x}\cdot 12^{x-2}}+12^{x-2}=3^{x-2}$
$2^{x}-2(2^{\frac{x}{2}}\cdot 12^{\frac{x}{2}-1})+12^{x-2}=3^{x-2}$
$2^{x}-2^{x}\cdot 2^{x-2}\cdot 3^{\frac{x}{2}-1}+2^{2x-4}\cdot 3^{x-2}=3^{x-2}$
$2^{x}-2^{2x-2}\cdot 3^{\frac{x}{2}-1}+2^{2x-4}\cdot 3^{x-2}=3^{x-2}$
A dál nevím.

Na tomhle příkladu fakt krvácím

BakyX · 19. 03. 2014 22:54 — Editoval BakyX (19. 03. 2014 22:54)

Zaujímavé.

Kvôli prehľadnosti povedzme $x=2y+2$ . Dostávame rovnicu

$12^y+3^y-2^{y+1}=0$

$(12^y-2^y)+(3^y-2^y)= 0$

Pre $y<0$ je $12^y<2^y$ a $3^y<2^y$ , žiadne riešenie.

Pre $y>0$ naopak $12^y>2^y$ a $3^y>2^y$ , žiadne riešenie.

Nutne $y=0$ , čo je riešením.

BakyX · 19. 03. 2014 23:00

Všeobecná rada, ako takéto úlohy riešiť.

Pri tejto bolo dobré použiť nerovnosti resp. úvahy o funkciách a uhádnutie riešenia.

(ako tu: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=68305)

Typicky sa však v tých stredoškolských úlohach používa substitúcia po vhodnom vydelení.

Napríklad:

$2^{2x+1}+3^{2x+2}=6^x$

Upravíme na

$2 \cdot 2^{2x} + 9 \cdot 3^{2x} = 3^x \cdot 2^x$

Vydelíme $3^{2x}$

$2 \cdot $\frac{2}{3}$^{2x}+9=$\frac{2}{3}$^x$

...

jelinekgreen · 20. 03. 2014 10:49

↑ BakyX: $(12^y-2^y)+(3^y-2^y)= 0$

Vůbec nerozumím úpravě na druhém řádku. $(12^y-2^y)+(3^y-2^y)= 0$ Jak se na tohle dostanu??

A po tomto $2 \cdot $\frac{2}{3}$^{2x}+9=$\frac{2}{3}$^x$ pokračuju jak? Úplně jsem se ztratil...

jelinekgreen · 20. 03. 2014 10:53

↑ BakyX:

Já jsem se při jednom z pokusů dostal při substituci $s=\frac{x}{2}$ na tvar: $2^{s}=12^{s-1}+3^{s-1}$ , což by mělo vyjít. Ale nevím, jak z toho tvaru dál. Uniká mi nějaký zásadní způsob řešení :D Pomoc prosím..

byk7 · 20. 03. 2014 10:57

Zdravím,

$12^y+3^y-2^{y+1}=12^y-3^y-2\cdot2^y=12^y-3^y-2^y-2^y=$12^y-2^y$-$3^y-2^y$$

Další zajímavou úlohou by mohla být např. rovnice
$6^x+8^x=10^x$

Rumburak

↑ jelinekgreen:

Ahoj.

Kolega ↑ BakyX: možná postupuje na Tebe příliš rychle. Moje doporučení:
Vrať se k původní rovnici

$\sqrt{2^{x}}-\sqrt{12^{x-2}}=\sqrt{3^{x-2}}$
a začni tím, že se zbavíš druhé odmocniny jejím převodem na racionální exponent podle vzorce $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} , a \ge 0$ .
Dostaneš (po mírné úpravě)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Nyní by se hodilo provést (první) substituci $\frac{x}{2} = y$ EDIT nebo ještě lépe $\frac{x}{2}-1 = y$ .

V dalším postupu se využije faktu, že $12 = 2^2\cdot 3$ .

jelinekgreen · 20. 03. 2014 11:19

↑ byk7:
Dobře, tohle jsem pochopil. Můžu se ale dobrat výsledku nějakým uceleným způsobem a ne úvahou nad rovnostma?
Když mám tedy na pohled celkem jednoduchou rovnici $12^y+3^y-2^{y+1}=0$ , jak vyjádřím y??

Rumburak

↑ jelinekgreen:

Rovnici $12^y+3^y-2^{y+1}=0$ vydělíme nenulovým výrazem $3^y$ . Odtud

$4^y+1-2 $\frac{2}{3}$^y=0$ ,
$4^y+1= 2 $\frac{2}{3}$^y$ .

Funkce tvořící levou stranu poslední rovnice je rostoucí (základ exp. fce je > 1) a zobrazuje $\mathbb{R}$ na $(1, +\infty)$ ,
funkce tvořící pravou stranu téže rovnice je klesající (základ exp. fce je < 1) a zobrazuje $\mathbb{R}$ na $(0, +\infty)$ ,
při čemž obě tyto funkce jsou spojité.
Odtud plyne (pro orientaci pomůže náčrtek), že tato rovnice má řěšení, a sice právě jedno. Zkusmo zjistíme, že $y = 0$ .