Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 19. 03. 2014 21:28

jelinekgreen
Příspěvky: 168
Reputace:   
 

expo/iracionální rovnice

Ahoj, potřeboval bych pomoc s příkladem. $\sqrt{2^{x}}-\sqrt{12^{x-2}}=\sqrt{3^{x-2}}$  Nevím, zda začít jako s iracionální či exponenciální rovnicí, či je to jedno? Každopádně se nemůžu dostat k výsledku. Který je 2 mimochodem.

Byl bych rád za nakopnutí. A radu co obecně dělat, když mám u exponenciálních rovnic na jedné straně součin dvou různých základů.

Děkuji :)


Fyzika je jako sex, může mít i praktické výsledky, to ale není to, proč to děláme.

Offline

 

#2 19. 03. 2014 21:32

janca361
.
Příspěvky: 3284
 

Re: expo/iracionální rovnice

↑ jelinekgreen:
Prvně bych se u takových příkladů dívala, zda není možné provést substituci - tady nic vhodného není.
Tahže zbavit odmocnin, tj. umocnit "na druhou" - budou nějaké podmínky?
A potom vznikne exponenciální rovnice a tu řešit.

Offline

 

#3 19. 03. 2014 21:53

Bati
Příspěvky: 2381
Reputace:   188 
 

Re: expo/iracionální rovnice

↑ janca361:
Protože $\sqrt{2^x}=2^{\frac{x}2}$, není třeba nic umocňovat.

Offline

 

#4 19. 03. 2014 22:07

jelinekgreen
Příspěvky: 168
Reputace:   
 

Re: expo/iracionální rovnice

Já už to zkoušel tak i tak a nic.
$2^{x}-2\sqrt{2^{x}\cdot 12^{x-2}}+12^{x-2}=3^{x-2}$
$2^{x}-2(2^{\frac{x}{2}}\cdot 12^{\frac{x}{2}-1})+12^{x-2}=3^{x-2}$
$2^{x}-2^{x}\cdot 2^{x-2}\cdot 3^{\frac{x}{2}-1}+2^{2x-4}\cdot 3^{x-2}=3^{x-2}$
$2^{x}-2^{2x-2}\cdot 3^{\frac{x}{2}-1}+2^{2x-4}\cdot 3^{x-2}=3^{x-2}$
A dál nevím.

Na tomhle příkladu fakt krvácím


Fyzika je jako sex, může mít i praktické výsledky, to ale není to, proč to děláme.

Offline

 

#5 19. 03. 2014 22:54 — Editoval BakyX (19. 03. 2014 22:54)

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: expo/iracionální rovnice

Zaujímavé.

Kvôli prehľadnosti povedzme $x=2y+2$. Dostávame rovnicu

$12^y+3^y-2^{y+1}=0$

$(12^y-2^y)+(3^y-2^y)= 0$

Pre $y<0$ je $12^y<2^y$ a $3^y<2^y$, žiadne riešenie.

Pre $y>0$ naopak $12^y>2^y$ a $3^y>2^y$, žiadne riešenie.

Nutne $y=0$, čo je riešením.


1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#6 19. 03. 2014 23:00

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: expo/iracionální rovnice

Všeobecná rada, ako takéto úlohy riešiť.

Pri tejto bolo dobré použiť nerovnosti resp. úvahy o funkciách a uhádnutie riešenia.

(ako tu: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=68305)

Typicky sa však v tých stredoškolských úlohach používa substitúcia po vhodnom vydelení.

Napríklad:

$2^{2x+1}+3^{2x+2}=6^x$

Upravíme na

$2 \cdot 2^{2x} + 9 \cdot 3^{2x} = 3^x \cdot 2^x$

Vydelíme $3^{2x}$

$2 \cdot \(\frac{2}{3}\)^{2x}+9=\(\frac{2}{3}\)^x$

...


1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#7 20. 03. 2014 10:49

jelinekgreen
Příspěvky: 168
Reputace:   
 

Re: expo/iracionální rovnice

↑ BakyX:$(12^y-2^y)+(3^y-2^y)= 0$

Vůbec nerozumím úpravě na druhém řádku. $(12^y-2^y)+(3^y-2^y)= 0$  Jak se na tohle dostanu??


A po tomto $2 \cdot \(\frac{2}{3}\)^{2x}+9=\(\frac{2}{3}\)^x$ pokračuju jak? Úplně jsem se ztratil...


Fyzika je jako sex, může mít i praktické výsledky, to ale není to, proč to děláme.

Offline

 

#8 20. 03. 2014 10:53

jelinekgreen
Příspěvky: 168
Reputace:   
 

Re: expo/iracionální rovnice

↑ BakyX:

Já jsem se při jednom z pokusů dostal při substituci $s=\frac{x}{2}$ na tvar: $2^{s}=12^{s-1}+3^{s-1}$, což by mělo vyjít. Ale nevím, jak z toho tvaru dál. Uniká mi nějaký zásadní způsob řešení :D Pomoc prosím..


Fyzika je jako sex, může mít i praktické výsledky, to ale není to, proč to děláme.

Offline

 

#9 20. 03. 2014 10:57

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4713
Reputace:   221 
 

Re: expo/iracionální rovnice

Zdravím,

$12^y+3^y-2^{y+1}=12^y-3^y-2\cdot2^y=12^y-3^y-2^y-2^y=\(12^y-2^y\)-\(3^y-2^y\)$

Další zajímavou úlohou by mohla být např. rovnice
$6^x+8^x=10^x$


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#10 20. 03. 2014 11:19 — Editoval Rumburak (20. 03. 2014 11:53)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: expo/iracionální rovnice

↑ jelinekgreen:

Ahoj.

Kolega ↑ BakyX: možná postupuje na Tebe příliš rychle. Moje doporučení:
Vrať se k původní rovnici

               $\sqrt{2^{x}}-\sqrt{12^{x-2}}=\sqrt{3^{x-2}}$
a začni tím, že se zbavíš druhé odmocniny jejím převodem na racionální exponent podle vzorce $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} ,   a \ge 0$ .
Dostaneš (po mírné úpravě)


Nyní by se hodilo provést (první) substituci $\frac{x}{2} = y$ EDIT nebo ještě lépe $\frac{x}{2}-1 = y$

V dalším postupu se využije faktu,  že $12 = 2^2\cdot 3$.

Offline

 

#11 20. 03. 2014 11:19

jelinekgreen
Příspěvky: 168
Reputace:   
 

Re: expo/iracionální rovnice

↑ byk7:
Dobře, tohle jsem pochopil. Můžu se ale dobrat výsledku nějakým uceleným způsobem a ne úvahou nad rovnostma?
Když mám tedy na pohled celkem jednoduchou rovnici $12^y+3^y-2^{y+1}=0$  , jak vyjádřím y??


Fyzika je jako sex, může mít i praktické výsledky, to ale není to, proč to děláme.

Offline

 

#12 20. 03. 2014 11:48 — Editoval Rumburak (20. 03. 2014 11:56)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: expo/iracionální rovnice

↑ jelinekgreen:

Rovnici $12^y+3^y-2^{y+1}=0$ vydělíme nenulovým výrazem $3^y$. Odtud

                  $4^y+1-2 \(\frac{2}{3}\)^y=0$ ,
                  $4^y+1= 2 \(\frac{2}{3}\)^y$ .

Funkce tvořící  levou stranu poslední rovnice je rostoucí (základ exp. fce je > 1) a zobrazuje $\mathbb{R}$ na $(1, +\infty)$,
funkce tvořící  pravou stranu téže rovnice je klesající (základ exp. fce je < 1) a zobrazuje $\mathbb{R}$ na $(0, +\infty)$,
při čemž obě tyto funkce jsou spojité.
Odtud plyne (pro orientaci pomůže náčrtek), že tato rovnice má řěšení, a sice právě jedno. Zkusmo zjistíme, že $y = 0$ .

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson