Matematické Fórum

jelinekgreen · 25. 03. 2014 12:34

Dobrý den, mohl by mi někdo osvětlit následující příklad?

$x^{\sqrt[n]{x}}=(\sqrt[n]{x})^{x}$

Za prvé si nevím rady s postupem a za druhé, jak může mít vlastně jedna rovnice o dvou neznámých výsledek?

Cheop · 25. 03. 2014 12:43

↑ jelinekgreen:
Levou i pravou stranu můžeš napsat jako:
$x^{\frac{x}{n}}$

jelinekgreen · 25. 03. 2014 12:48

↑ Cheop:
Tam jsem se ještě dostal. A teď co? Když mám stejný základ = x, tak můžu porovnat $\frac{x}{n}$ ?

To by pak napovídalo, že výsledkem jsou $\mathbb{R}$ , což nejsou. Takže to nejspíš nemůžu udělat. Proč to prosím nemůžu udělat?

Cheop · 25. 03. 2014 12:54

↑ jelinekgreen:
Pro
$n\ne 0\,\,\wedge\,\,x>0$ platí:
$x\in\,\mathbb{R}$

jelinekgreen · 25. 03. 2014 12:57

Taky ale platí, že $x=1 ; x= n\cdot \sqrt[n-1]{n}$

A já bych k tomu rád nějakým způsobem došel :)

vanok · 25. 03. 2014 13:05

Poznamka.
Tato rovnost neplati vseobecne.
Napr pre n=2, x=4 plati
Ale napr pre n=2, x=9 nie.

jelinekgreen · 25. 03. 2014 13:10

↑ vanok: a kde vezmu podmínky, pro rovnost? Jak znistím, že to je $1$ ?

vanok · 25. 03. 2014 13:37 — Editoval vanok (25. 03. 2014 13:48)

Ahoj.
To mozes tiez overit, ze pre x=1, a lubovolne prirodzene n, tvoja rovnost plati.
Od kial mas toto cvicenie? Co vsetko je tam este napisane?

Na podrobne riesenie, pokial x>0, a n vhodne mozes pouzit logaritmy.
Komentar.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jelinekgreen · 25. 03. 2014 15:14

↑ vanok: Ahoj, mám to ze skript k přijímacímu řízení na techniku. Takže opáčko střední. Jinak jsou tam poměrně jednoduchý příklady, ale v kapitole exponenciálních rovnic se rozhodli, že mě uvrhnou do deprese...

Nepíšou k tomu nic. Po zopakování rovnic typu $2^{x}=8$ přechází ke cvičení, kde tohle je jeden ze dvou, který za boha nejsem schopen udělat. Ta druhá je sice úplně obyčejná a není na ní nic k nepochopení, ale taky mi nejde vypočítat. Pokud bys byl tak hodnej a taky mi s ní pomohl... $\sqrt{2^{x}}-\sqrt{12^{x-2}}=\sqrt{3^{x-2}}$

Byl bych vděčný za kompletní postup až k výsledku, protože tenhle typ úlohy řešit umím, akorát tenhle nejsem schopen :D

zdenek1 · 25. 03. 2014 15:40

↑ jelinekgreen:
$x^{\sqrt[n]{x}}=(\sqrt[n]{x})^{x}$
pro $x>0$ a $n\in\mathbb N$
$x^{\sqrt[n]{x}}=(x)^{\frac xn}$
$\sqrt[n]{x}\log x=\frac xn\log x$

a) $\log x=0$

b) $\sqrt[n]{x}=\frac xn$
$\log\sqrt[n]{x}=\log \frac xn$
$\frac1n\log x= \log x-\log n$
$\log x\left(1-\frac1n\right)=\log n$
$\log x=\frac{n\log n}{n-1}$ , když $n\ne1$

když $n=1$ , $x\in\mathbb R^+$

vanok · 25. 03. 2014 17:07 — Editoval vanok (25. 03. 2014 17:35)

Ahoj ↑ zdenek1:,
Ano to je forma ku ktorej sa lahko dostane, a ku ktorej sa dalo dostat aj umocnovanim.
Tu som len poznamenal ↑ vanok:, ze uplne riesenie takych prikladov nie je stredoskolske. Potom, tiez neviem ako sa definuje na strednych skolach v cz, sk exp. funkcia ( su tam nejake restrikcie ??)

vanok · 25. 03. 2014 17:33

Na buduce otvor na novu ulohu nove vlakno
$\sqrt{2^{x}}-\sqrt{12^{x-2}}=\sqrt{3^{x-2}}$
Akoze v tej ulohe, na riesenie som pouzil jednoduchy trik ( ale trochu nevycajny) tak ju tu trochu komentujem .
Najprv $( \sqrt 2)^ x= 2(\sqrt x)^{x-2}$
co da po deleni pravou stranou rovnice
$2(\frac 23)^{\frac{x-2}2}-2^{x-2}=1$
Je okamzite ze x=2je riesenie poslednej rovnice.
A ta nemoze mat ziadne celé riesenie vedcie ako 2, lebo jej prvy clen je skutocny zlomok, a druhe dva cleny su celé cisla.... Co nie je mozne.
( o inych moznostiach som nerozmyslal...)
Zda sa mi, ze tvoja zbierka uloh je dost vysokej urovne.
Nebolo by.lepsie keby si skusal riesit ulohy z minulych rokov?

jelinekgreen · 25. 03. 2014 18:07

↑ vanok:
Úlohy z minulých let samozřejmě přijdou na řadu.

Dostat se na tvar $2(\frac 23)^{\frac{x-2}2}-2^{x-2}=1$ mi nedělá problém. Pěkné řešení. Zase jsem se přiučil a o to jde :)

A na první pohled jde vidět, že $x\in \langle2;\infty )$ ale už moc nerozumím tomu, jak ( a jak na první pohled) poznám, že je to právě $x=2$ Když budu zvyšovat x, tak první výraz půjde k nule a je jasný, že po odečtení druhého člene se na jedničku nedostanu. Ale jak (kromě dosazování konkrétních čísel) odhadnu ten fakt, že dvojka skutečně vyhovuje jako jediné číslo?

vanok · 25. 03. 2014 18:51

↑ jelinekgreen:,
To co som pisal plati len pre cele cisla. ...( i ked by sa dalo z tym pohrat a dat argumenty v inych situaciach. )
To riesenie x=2, mozes vidiet aj takto : skusime najpr kedy vsetki cleny budu cele cisla... A jedine take je x=2... A zazrakom vyhovuje.

Z tymi cviceniami je to take, ze aby sa to dokladne riesili, treba dost casu.

jelinekgreen

↑ vanok:
Protože x ovlivňuje jen výraz bez násobné konstanty, můžu si uvědomit, že $2\cdot y-y=1$ a z toho mimochodem plyne, že výrazy s neznámou x musí být ekvivalentní?
tedy $y=1$
a y dosadím třeba do druhého výrazu: $2^{x-2}=1$
a tady už opravdu zřejmě $x=2$

Je tohle úvaha, tak jak jsi to myslel?

vanok · 25. 03. 2014 19:39

Aj tak mozes
To je radost sam riesit, ze

jelinekgreen · 25. 03. 2014 19:46

↑ vanok: Je to radost :) Děkuju za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2014 12:34

Exponenciální rovnice

#2 25. 03. 2014 12:43

Re: Exponenciální rovnice

#3 25. 03. 2014 12:46 Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: Zbytečné

#4 25. 03. 2014 12:48

Re: Exponenciální rovnice

#5 25. 03. 2014 12:54

Re: Exponenciální rovnice

#6 25. 03. 2014 12:57

Re: Exponenciální rovnice

#7 25. 03. 2014 13:05

Re: Exponenciální rovnice

#8 25. 03. 2014 13:10

Re: Exponenciální rovnice

#9 25. 03. 2014 13:37 — Editoval vanok (25. 03. 2014 13:48)

Re: Exponenciální rovnice

#10 25. 03. 2014 15:14

Re: Exponenciální rovnice

#11 25. 03. 2014 15:40

Re: Exponenciální rovnice

#12 25. 03. 2014 17:07 — Editoval vanok (25. 03. 2014 17:35)

Re: Exponenciální rovnice

#13 25. 03. 2014 17:33

Re: Exponenciální rovnice

#14 25. 03. 2014 18:07

Re: Exponenciální rovnice

#15 25. 03. 2014 18:51

Re: Exponenciální rovnice

#16 25. 03. 2014 19:06 — Editoval jelinekgreen (25. 03. 2014 19:06)

Re: Exponenciální rovnice

#17 25. 03. 2014 19:39

Re: Exponenciální rovnice

#18 25. 03. 2014 19:46

Re: Exponenciální rovnice

Zápatí