Matematické Fórum

Sheldon.C · 29. 03. 2014 14:21

Ahoj, moc prosím o radu s příkladem:
Určete velikost úhlu, pod kterým je z bodu $H[-12,2]$ vidět hyperbolu o rovnici $4(x-3)^{2}-45(y+2)^{2}=180$
Našla jsem zde řešený stejný příklad z roku 2011, ale nebyl nijak vyřešen. Já jsem postupovala trošku jinak.
1. $t v T[x_{0},y_{0}]: 4(x-3)\cdot (x_{0}-3)-45(y+2)\cdot (y_{0}+2)=180$
2. $H\subset t$ : $x_{0}=-3y_{0}-6$
3. $4(3y_{0}+9)^{2}-45(y_{0}+2)^{2}=180$
po úpravě: $y_{0^{2}}-4y_{0}-36=0$
D=160
Zaráží mě výsledek diskriminantu 160, z čehož potom vyjde, že $y_{0_{1,2}}=2\mp 2\sqrt{10}$
Je to dobře? Případně jak mám teď vypočítat úhel?
Děkuji moc

Jj · 29. 03. 2014 14:55

↑ Sheldon.C:

Dobrý den, není nějaká chyba v zadání? Bod $H[-12,2]$ je (pokud jsem se nepřepočítal) bodem hyperboly $4(x-3)^{2}-45(y+2)^{2}=180$ . Má se počítat, jak je hyperbola vidět ze "svého" bodu?

Sheldon.C · 29. 03. 2014 15:10

Dobrý den, chyba v zadání není. Podle výsledků má úhel vyjít $32^\circ$ a 7 minut.
Je tedy můj postup špatný? Chtěla jsem vypočítat odchylku dvou tečen.

jelena · 29. 03. 2014 15:56

Zdravím,

↑ Sheldon.C: to je téma, co jsi našla. Pokud je bod H na hyperbole, potom nevidíme tu větev hyperboly, na které bod leží, ale druhou větev, pro kterou tento bod bude vnějším bodem pro tečny (a jejich odchylku hledáme). Tak jsem si úlohu představovala v odkazovaném tématu. Souhlasí to? Děkuji.

Sheldon.C · 29. 03. 2014 16:29

Ano, to je přesně ten odkaz. Ale teď teda vůbec netuším, jak mám počítat...

Jj · 29. 03. 2014 18:54 — Editoval Jj (29. 03. 2014 18:54)

↑ jelena: ↑ Sheldon.C:

Zdravím. Nějak se neumím srovnat s tím, že z bodu jedné větve hyberboly má jít spouštět tečny na její druhou větev. To je podle mně "proti přírodě":

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Řekl bych podle obrázku, že zorný úhel, pod nímž je vidět druhou větev z bodu H, se bude rovnat úhlu asymptot (z bodu H dohlédneme až k nevlastním bodům hyperboly právě ve směru asymptot). Jenže úhel asymtot nesouhlasí s úhlem uvedeným tazatelkou jako řešení. Takže já více neporadím.

jelena · 29. 03. 2014 20:33

↑ Jj:

Také pozdrav, mne to už také zastavilo od psaní dalšího návodu, když byl dotaz kolegyňky ↑ Sheldon.C:, jelikož se mi to přestalo zdát. Ve sbírkách, co mám, jsem teď narychlo takovou úlohu nenašla - zda je v zadání překlep a bod H je mimo hyperbolu nebo něco jiného jinak.

↑ Sheldon.C: odkud je úloha? Děkuji.

Sheldon.C · 29. 03. 2014 20:56

A mohu se zeptat, jak mám tedy postupovat s řešením? Děkuji moc.

jelena · 29. 03. 2014 21:05

↑ Sheldon.C:

Knihu jsem již našla - je tato, zadání souhlasí, ve výsledku však je 33 stupňů 12 minut. Což není tak podstatné.

Podstatné je, jak úlohu pojmout - zůstanu u myšlenky, že z bodu H mohu vidět jen druhou větev hyperboly, ne tu, na které bod H leží. Potom kolega ↑ Jj: navrhuje počítat odchylku asymptot. Ovšem měli bychom prokázat, že odchylka asymptot je totéž, co úhel, pod kterým vidíme hyperbolu z bodu H. Nějak nejsem si jistá celým postupem.

Jj · 29. 03. 2014 21:45

↑ jelena:

Ostrý úhel asymptot při přesnějším výpočtu vychází skutečně 33°12'.

Řekl bych, že máme-li z bodu H vidět právě celou druhou větev hyperboly, pak skutečně musí být ramena zorného úhlu rovnoběžná s asymptotami. V každé jiné poloze buď předmětnou větev hyperboly protnou, nebo se od ní vzdálí (jako např. "červená" tečna na obrázku výše).

Takže podle mne zorný úhel při pohledu z bodu H = ostrému úhlu asymptot.

vanok · 29. 03. 2014 22:10 — Editoval vanok (29. 03. 2014 22:21)

Pozdravujem ↑ jelena:,↑ Jj:
Poznamka: pre kuzelosecky plati veta
Zo skutocneho( cize nie na kuzelosecke) vonkajsieho bodu kuzelosecky mame vzdy dve dotycnice na danu kuzelosecku.
Z bodu na kuzelosecke mame jedinu dotycnicu.
Z vnutorneho bodu nemame ziazdnu dotycnicu.

To moze byt pouzite na dany problem. ( co sa tyka druhej vetvy)

V probleme, tak ako je polozeny, treba uvazovat vsetki mozne priamky z daneho bodu, ktore pretinaju kuzelosecku... A preto ked sa pozerame na vetvu hyperboly ktoru vylucila ( asi nepravom) Jelena, mame rozpetie uhlov smernic priamok ktore pretinaju hyperbolu v tej vetve v rozpeti 180° ( vynimka je rovnobezna priamka z hlavnou osou hyperboly).

Cize zda sa mi, ze takyto problem potrebuje trochu casu na podrobnu analyzu vsetkych situacii ak by sme chceli vysetrit zvlast kazdu vetvu danej hyperboly. No ale ide o problem, podla cakanej odpovedi, v ktorom jeho autor ne analyzoval vsetki moznosti.

jelena · 29. 03. 2014 23:05

↑ Jj:

děkuji, ale to by neplatilo pro každou polohu bodu H na hyperbole (nemám na mysli polohu bodu H na hyperbole a zároveň na ose, ten je mi jasný). Zda to mohu tak zevšeobecnit pro každý bod?

↑ vanok:

také děkuji a ještě pozdrav. Není pěkné, že k řešení úlohy jdeme přes známý výsledek a také bychom v analytice neměli využívat obrázek.
Zkusím tedy úlohu přeformulovat tak: na hyperbole o známé rovnice najít bod X, který má minimální vzdálenost od tečny procházející bodem H. To mi dá jednu přímku HX, co bude vymezovat zorný úhel. Druhá přímka, která půjde bodem H, musí být rovnoběžná s asymptotou. Povede to k jednoznačnému řešení? Nebo to není správná formulace úlohy?

Mně to nijak nespěchá, mám i tak všeho teď moc, tak diskutujte, prosím, pomalu, děkuji :-)

Pravda: úhel 180 stupňů jsem také měla označit za zorný.

Sbírka, odkud je úloha, patří k těm lepším a spolehlivějším, tedy bych nepředpokládala nepořádné zadání.

vanok · 29. 03. 2014 23:36 — Editoval vanok (30. 03. 2014 00:08)

↑ jelena:,
Pozdravujem.
To aj tie najlepsie knihy maju z casu na cas nejaku chybu. Dokonalost to je ciel, ale...
Cakane riesenie sa tykalo druhej vetvy.
Vysledky co som napisal vysie sa pochopitelne daju dokazat aj analyticky.

Obrazky v podstate nie su podrebne v dokazoch, no vsak uzitocne na vybudovanie intuicii a potvrdenie toho, ze viacej ciest vedie k dokazu.
Aky nazor mal na to Descartes?

jelena · 30. 03. 2014 13:51

↑ vanok:

to jsem nechtěla říci, zda chybu/nechybu, ale nečekala bych v této knize nějakou metodickou nedokonalost nebo nejednoznačnost. A úlohy z tohoto typu sbírek obvykle si vystačí s využitím standardních kroků bez potřeby důkazu nad rámec probrané teorie. Zde bych nejdřív musela využit návrh důkazu kolegy ↑ Jj: (asi by šlo sepsat i důkaz přesně?). Jednoduše to v tématu mám(e) tak, že bez nabídky výsledku jsme standardní řešení nenapsali a to není seriózní. Souhlasíte?

Hyperbola má řádu optických vlastností, ale běžně se na SŠ neberou.

Aky nazor mal na to Descartes?

:-) zkusím se podívat (překlad do ruštiny mám, ale až bude klid a čas). I sem se podívám.

vanok · 30. 03. 2014 14:55

Pozdravujem ↑ jelena:,
Ta kniha od pana Vopenku si zasluzi byt precitana. Iste si ju obstaram.

Ten navrh od kolegu Jj je vyrok ku ktoremu som napisal vlastne len male doplnenie jeho tvrdenia. A jeho geometricky dokaz nas kolega prakticky vyjadril. ( jediny moj prinos je to, ze treba rozmyslat podla polohy daneho bodu, a tiez ze to plati pre vsetky kuzelosecky) Tento dokaz sa da urobit aj analyticky, co iste tu niekto doplni ( mozno aj ja ked budem mat na to cas)

Pochopitelne nevieme ake riesenie cakal autor knihy, ale je to pekne cvicenie na otvorene matematickeho ducha.

Descartes, to je len take male zmurknutie oka, ale je uzitocne studovat matematiku aj z historickeho pohladu.

Peknu nedelu.

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2014 14:21

Hyperbola

#2 29. 03. 2014 14:55

Re: Hyperbola

#3 29. 03. 2014 15:10

Re: Hyperbola

#4 29. 03. 2014 15:56

Re: Hyperbola

#5 29. 03. 2014 16:29

Re: Hyperbola

#6 29. 03. 2014 18:54 — Editoval Jj (29. 03. 2014 18:54)

Re: Hyperbola

#7 29. 03. 2014 20:33

Re: Hyperbola

#8 29. 03. 2014 20:56

Re: Hyperbola

#9 29. 03. 2014 21:05

Re: Hyperbola

#10 29. 03. 2014 21:45

Re: Hyperbola

#11 29. 03. 2014 22:10 — Editoval vanok (29. 03. 2014 22:21)

Re: Hyperbola

#12 29. 03. 2014 23:05

Re: Hyperbola

#13 29. 03. 2014 23:36 — Editoval vanok (30. 03. 2014 00:08)

Re: Hyperbola

#14 30. 03. 2014 13:51

Re: Hyperbola

#15 30. 03. 2014 14:55

Re: Hyperbola

Zápatí