Matematické Fórum

janca361 · 02. 04. 2014 18:07

Ahoj,
na MA+ dnes byla tato úloha. Neznám nikoho, kdo by to vyřešil.

Úkolem je narýsovat trojúhelník ABC.
Strana AC je zadána. Dále vím, že $t_a$ a $v_b$ se protínají v bodě P (je zadán).

Náčrt (v testu to bylo přesně, tady je to "od oka", takže to nemusí vyjít, pokud by do toho někdo chtěl kreslit):

Mě napadla jen S( $S_{AB}$ ): C->B. Jen střed ani žádnou jinou dvojici bodů, které by toto shodné zobrazené určily, nemám.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/54759_MA%252B.png

(pro zajímavost: úloha za 3 body z celkových 50)

janca361 · 02. 04. 2014 18:41

↑ gadgetka:
Ano, to je ten problém :)

gadgetka

Kdyby bylo zadání naopak, myslím tím $v_a$ a $t_b$ , bylo by to jednodušší. :)

Ještě kdyby se sestrojil trojúhelník $APP_b$ , kde $P_b$ je pata výšky $v_b$ , tak pak trojúhelník $AS_{BC}C$ je mu podobný, ne? Nešlo by jít touto cestou?
Strany by se změřily, našel by se koeficient podobnosti a pak by se lehce sestrojila celá strana BC a doplnil by se celý trojúhelník. :)

jelena · 02. 04. 2014 20:49

↑ janca361:

Zdravím,

a) manual je třeba hledat s krátkým a,
b) Tebe osobně jsem z Manualu školila.

Skoro OT: zadání těžnice se obvykle spojuje s využitím středové souměrnosti. Zkusila bych sestrojit z bodu P kolmici na AC, což je "kousek" $v_b$ , potom z bodu C rovnoběžku k $v_b$ , označím CC´. Prodloužit AP do průsečíku s CC´, což bude P´. Střed PP´ je střed AB. Může být? Děkuji.

janca361 · 02. 04. 2014 21:07

↑ jelena:
Zdravím,
a) už jsem našla :)
b) fakt? Nevzpomínám si O:-) Školení by bylo třeba pravidelně opakovat ;)

Vypadá to dobře, jen nechápu, proč $CC'\parallel v_b$ a zrovna $CC'\cap AP=P'=S_{BC}$ .

jelena · 02. 04. 2014 23:53

↑ janca361:

:-) tady školím. A záznam o školení máš přidán do Poznámky (plně souhlasím, že z cvičných důvodů ho upravíš).

K trojúhelníku - když trojúhelník doplníš na kosodélník a vyznačíš co se na co zobrazí ve středové souměrnosti se středem ve středu strany BC, tak to je vidět. Střed BC není bod P´, ale je ve středu úsečky PP´. No jistě na rozdíl ode mne vlastníš kružítko, tak to zrealizuješ.

byk7 · 03. 04. 2014 09:16 — Editoval byk7 (02. 05. 2015 18:11)

Ne, že bych se nějak detailně zabýval rozborem (takže je to možná špatně), ale nebude fungovat toto?

Zbytek pak už bude zřejmý.

Honzc · 03. 04. 2014 09:48 — Editoval Honzc (03. 04. 2014 09:48)

↑ janca361:
Taková logičtější konstrukce (i když v podstatě stejná jako od↑ jelena: - zdravím)
vzhledem k podobnosti trojúhelníků BP'C a SP''C takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

byk7 · 03. 04. 2014 10:00

↑ Honzc:

Není to v podstatě to, co jsem napsal já?

Honzc · 03. 04. 2014 13:01

↑ byk7:
Je to úplně to samé, jenom tam máš překlep.
Bod 3. by měl vypadat spíš.
$3.\,o,\,o=\{ |CX|=|XB_{0}|,X\in AC \}$
Jinak jsem ten tvůj příspěvek neviděl, když jsem psal ten svůj.

byk7 · 03. 04. 2014 14:29

↑ Honzc:

Kdybych tam měl
$3.\,o,\,o=\{ |CX|=|XB_{0}|,X\in AC \}$
tak by vyhověl pouze střed úsečky $CB_0$ ,
jenže já chci celou osu, proto $X\in\overleftrightarrow{ACP}$

jelena · 03. 04. 2014 23:33

kolega Honzc napsal(a):
Taková logičtější konstrukce

Také pozdrav :-) Správná poznámka - mám naprostou absenci logiky - nebylo mi přiděleno, tedy nezbývá mi nic jiného, než standardizovat - např. zadání těžnice naznačuje užití středové souměrnosti, jak navrhuji. Tvůj návrh plyne z užití podobnosti a faktu, že těžnice půlí protější stranu - obdobně byl využit v této konstrukci.

↑ byk7:

přidej, prosím, který standard využíváš (nejlépe slovně), děkuji.

vanok · 04. 04. 2014 00:48

Pozdravujem ↑ jelena:,
Co je to ten manual?
Kde sa da citat?

jelena · 04. 04. 2014 00:56

↑ vanok:

Zdravím, to je manual pro mat. fórum, co jsme sepsali na MatWiki.

vanok · 04. 04. 2014 01:05

↑ jelena:
Dakujem.

Eratosthenes

↑ janca361:

Tady přece stačí využít jednoduché vlastnosti rovnoběžníka:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/20051_TROJ.png

Černé přímky jsou dané, body D, C se snadno sestrojí jako vrcholy rovnoběžníka. Bod C je hledaným vrcholem, protože leží na dané výšce a úhlopříčka BC je půlena druhou úhlopříčkou rovnoběžníka - těžnicí hledaného trojúhelníka.

PS: Dodatečně jsem si všiml, že na obrázku mám obráceně body B a C. Na řešení to naštěstí nemá vliv:-)

jelena · 04. 04. 2014 23:27

↑ Eratosthenes:

Zdravím a děkuji za další možnost - i když není to variace na téma "užití středové souměrnosti"? ↑ příspěvek 5:, ↑ příspěvek 7:.

Na úloze je spíš ze standardizačního hlediska zajímavé, že co do podstaty zadání je zcela shodna s úlohou, ale zadání průsečíků prvků místo samotných prvků zadání mírně zneprůhlednilo. ↑ janca361: lze označit za vyřešené?

Eratosthenes · 05. 04. 2014 13:22

↑ jelena:

>> není to variace na téma "užití středové souměrnosti"? ↑ příspěvek 5:, ↑ příspěvek 7:.

Variace to asi je, ale neřekl bych, že ↑ příspěvek 5:, ↑ příspěvek 7: využívají středové souměrnosti, spíš jde o střední příčku trojúhelníka.

>> co do podstaty zadání je zcela shodna s úlohou...

Nesouhlasím. Zde není zadána ani velikost výšky, ani velikost těžnice, ale směr těchto příček, což je zcela jiná úloha.

jelena · 06. 04. 2014 14:06

↑ Eratosthenes:

děkuji, ne, střední příčku nevyužívám, dokresluji obraz trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti se středem strany BC (a této souměrnosti i ostatní prvky).

Shoda je v postupu kolegů použití podobnosti trojúhelníků. Samotné zadání délek těžnice a výšky nedává možnost sestrojení, ale "domyšlení" průsečíku těžnice a výšky již dává. Ale je možné, že to překombinovávám.

Kolega vanok byl tak laskav a upozornil mne na materiál, který systematizoval konstrukce trojúhelníku (je to starší časopis v ruštině, tak nevím, zda by byl zájem o náhled). Údajně autor sestavil veškeré kombinace prvků, podle kterých jde sestrojit. Našel celkem 350 různých zadání. Je něco podobného v jiných řečích (tento materiál znám)? Děkuji a zdravím.

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2014 18:07

Konstrukční úloha

#2 02. 04. 2014 18:32 — Editoval gadgetka (02. 04. 2014 18:36) Příspěvek uživatele gadgetka byl skryt uživatelem janca361. Důvod: Taky mě to napadlo, jen ono P není těžiště.

#3 02. 04. 2014 18:41

Re: Konstrukční úloha

#4 02. 04. 2014 18:45 — Editoval gadgetka (02. 04. 2014 18:48)

Re: Konstrukční úloha

#5 02. 04. 2014 20:49

Re: Konstrukční úloha

#6 02. 04. 2014 21:07

Re: Konstrukční úloha

#7 02. 04. 2014 23:53

Re: Konstrukční úloha

#8 03. 04. 2014 09:16 — Editoval byk7 (02. 05. 2015 18:11)

Re: Konstrukční úloha

#9 03. 04. 2014 09:48 — Editoval Honzc (03. 04. 2014 09:48)

Re: Konstrukční úloha

#10 03. 04. 2014 10:00

Re: Konstrukční úloha

#11 03. 04. 2014 13:01

Re: Konstrukční úloha

#12 03. 04. 2014 14:29

Re: Konstrukční úloha

#13 03. 04. 2014 23:33

Re: Konstrukční úloha

kolega Honzc napsal(a):

#14 04. 04. 2014 00:48

Re: Konstrukční úloha

#15 04. 04. 2014 00:56

Re: Konstrukční úloha

#16 04. 04. 2014 01:05

Re: Konstrukční úloha

#17 04. 04. 2014 16:03 — Editoval Eratosthenes (04. 04. 2014 21:06)

Re: Konstrukční úloha

#18 04. 04. 2014 23:27

Re: Konstrukční úloha

#19 05. 04. 2014 13:22

Re: Konstrukční úloha

#20 06. 04. 2014 14:06

Re: Konstrukční úloha

Zápatí