Matematické Fórum

pema01 · 07. 04. 2014 19:48

Ahoj, chci se zeptat, kde dělám chybu:

Dokažte:
$\frac{sin^{4}x-cos^{4}x+cos^{2}x}{2(1-cos x)}=cos^{2}\frac{1}{2}x$

Začal jsem tedy levou částí a postupně jsem dostával:
$\frac{(sin^{2}x+cos^{2}x)*(sin^{2}x-cos^{2}x)+cos^{2}x}{2(1-cos x)}=$
$\frac{1*(sin^{2}x-cos^{2}x)+cos^{2}x}{2(1-cos x)}=$
$\frac{-1*(cos^{2}x-sin^{2}x)+cos^{2}x}{2(1-cos x)}=$
$\frac{-cos^{2}x+sin^{2}x+cos^{2}x}{2(1-cos x)}=$
$\frac{sin^{2}x}{2(1-cos x)}=$
$\frac{1-cos^{2}x}{2(1-cos x)}=$
$\frac{(1-cosx)*(1+cosx)}{2(1-cos x)}=$
$=\frac{(1+cosx)}{2}$

... jenže to očividně není výsledek. Jak bych měl pokračovat, popř. kde mám chybu? už mě nic nenapadá. Děláme to podle goniometrických vzorců.

Díky za pomoc!

gadgetka · 07. 04. 2014 19:57

Ahoj, ve třetím řádku jsi zbytečně vytýkal mínus, stejné pokračování by bylo i bez vytknutí. :)

Levá strana se může napsat i jako $$\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$^2=$\cos{\frac x2}$^2$

pema01 · 07. 04. 2014 20:03 — Editoval pema01 (07. 04. 2014 20:04)

↑ gadgetka:
to vypadá nadějně, ale stále nevidím, z čeho jsi udělala takový vzorec, mohla bys mi to trochu přiblížit? jak jsi udělala to $cos^{2}\frac{x}{2}$ z toho třetího řádku?

pema01 · 07. 04. 2014 20:08

respektive toto: $$\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$^2$

gadgetka · 07. 04. 2014 20:17

$\cos^2{\frac x2}-\sin^2{\frac x2}=\cos${2\cdot\frac x2}$$
$\cos^2{\frac x2}-\sin^2{\frac x2}=\cos^2{\frac x2}-1+\cos^2{\frac x2}=2\cos^2{\frac x2}-1=\cos x$
A z této rovnice už to odvodíš sám:
$2\cos^2{\frac x2}-1=\cos x$

gadgetka · 07. 04. 2014 20:19

pema01 napsal(a):
↑ gadgetka:
to vypadá nadějně, ale stále nevidím, z čeho jsi udělala takový vzorec, mohla bys mi to trochu přiblížit? jak jsi udělala to $cos^{2}\frac{x}{2}$ z toho třetího řádku?

Ne z třetího řádku, až ze závěrečného výsledku. Ve třetím řádku tys zbytečně vytýkal mínus. :)

pema01 · 07. 04. 2014 21:05

↑ gadgetka:
... a ještě jedinou věc nechápu -> kdes vzala to $\frac{x}{2}$ , protože všude mám cos a sin s x a ne s x/2. Díky za vysvětlení. Zítra z toho píšeme test a já si ty vzorce prostě musím "vrazit pod kůži" :D.

gadgetka · 07. 04. 2014 21:11

To jsou vzorce s polovičním argumentem...

gadgetka

Vzorce vychází logicky z těch, co znáš, např.:

$\cos^2{\frac x2}-\sin^2{\frac x2}=\cos${2\cdot\frac x2}$=\cos x$
$2\sin{\frac x2}\cos{\frac x2}=\sin${2\cdot \frac x2}$=\sin x$
$\cos^2{\frac x2}+\sin^2{\frac x2}=1$

pema01 · 07. 04. 2014 21:22

↑ gadgetka:

Jéééžiši nojo já už jsem úplně blbej... vždyť jsem skončil tu ukázku $=\frac{(1+cosx)}{2}$ a tys mi poradila, že to mám odmocnit a to umocnit na druhou, abych viděl vzorec: $$\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$^2=$\cos{\frac x2}$^2$ .

Nojo už mi je to jasný, hledám v tom moc složitostí. Díky mockrát!

gadgetka · 07. 04. 2014 21:23

"Chytrej kluk!" ;)

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2014 19:48

Goniometrické vzorce

#2 07. 04. 2014 19:57

Re: Goniometrické vzorce

#3 07. 04. 2014 20:03 — Editoval pema01 (07. 04. 2014 20:04)

Re: Goniometrické vzorce

#4 07. 04. 2014 20:08

Re: Goniometrické vzorce

#5 07. 04. 2014 20:17

Re: Goniometrické vzorce

#6 07. 04. 2014 20:19

Re: Goniometrické vzorce

pema01 napsal(a):

#7 07. 04. 2014 21:05

Re: Goniometrické vzorce

#8 07. 04. 2014 21:11

Re: Goniometrické vzorce

#9 07. 04. 2014 21:16 — Editoval gadgetka (07. 04. 2014 21:16)

Re: Goniometrické vzorce

#10 07. 04. 2014 21:22

Re: Goniometrické vzorce

#11 07. 04. 2014 21:23

Re: Goniometrické vzorce

Zápatí