Matematické Fórum

aww · 12. 04. 2014 15:24

Dobrý den, nevím si rady s tímto příkladem, kdybych aspoň na netu našel něco kloudného podle čeho bych jel, ale bohužel jsem skoro nic nenašel.

Výraz $x\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial x}+x\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ transformujte do nových nezávislých proměnných $u=y$ a $v=\frac{y}{x}$
Předpokádejte, že funkce f má spojité všechny parciální derivace druhého řádu.

Odsud z diskuze vím, že potřebuji vyjádřit x a y abych zjistil, zda je zobrazení jednoznačné, tedy:

$y=u$
$x=\frac{y}{v}$

pak jsem narazil na vzorce:

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial v}$

$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial v}$

$\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial x}=\frac{\partial }{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial v}\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}$

zatím ale nemám páru jak postupovat, mohl by mi někdo napsat krok po kroku jak se tyto příklady řeší?

Jj · 12. 04. 2014 17:23

↑ aww:

Dobrý den, řešeno tady

aww · 12. 04. 2014 18:49 — Editoval aww (12. 04. 2014 18:49)

Toho jsem si nevšiml, děkuju prostuduju si to

aww · 12. 04. 2014 21:00

Pochopil jsem to do výsledku $\frac{\partial f}{\partial v} (-\frac{y}{x^{2}})$ pak se vám postupy rozcházejí a mě to hlava nebere. Na tu druhou derivaci existuje vzorec nebo se pro každý příklad počítá jinak?

Jj · 12. 04. 2014 21:20

↑ aww:

Z toho vůbec netuším, kam jste došel. Z dotazu na ten vzorec taky nejsem chytrý. Chce to konkretizovat.

aww · 12. 04. 2014 21:50

Dobře, pochopil jsem, že si zderivujeme u a v podle x a y, ty potom dosadíme všude kam můžem, v tomhle případě jen derivace podle x. Část vlevo se nám vynulovala a zbylo nám tam $\frac{\partial f}{\partial v} (-\frac{y}{x^{2}})$ které pak dosazujeme do druhého vzorce / do druhé derivace.

A mě zajímá, jak jsme přišli na druhý vzorec, konkrétně tento:
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial f}{\partial x}$=\frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$=\frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial F}{\partial v}$ \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial v}{\partial x}$=$

vidím tam derivaci součinu, pak dosazení, ale vůbec nevim jak to funguje, využil jste tohoto

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$

takto to lze rozložit v jakémkoliv příkladu? to bude asi právě ta transformace i tak se v tom nevyznám.
Jsou nějaké vzorce na rozklad které je dobré znát? Tohle bude asi na delší vysvětlování, zkusim najit další teorii a pak se vrátit k příkladu.

Jj · 12. 04. 2014 22:16

↑ aww:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial f}{\partial x}$=\frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$=\frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial F}{\partial v}$ \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial v}{\partial x}$$

To ilustruje postup:

- pro získání druhé derivace bude první derivace derivována podle x
- dosazeno za první derivaci - je vidět že se bude derivat součin funkcí
- zderivuje se podle pravidel pro derivaci součinu funkcí (derivace první funkce * druhá + derivace druhé funkce * první)

Ale pravdu máte v tom, že je třeba získat nějaké zkušenosti. Jinak - osobně jsem nějaké "zvláštní" vzorce vlastně nikdy neznal, v podstatě jde o aplikaci běžných postupů derivování (derivace součtů, součinů funkcí, derivace složených funkcí atp. ) na funkce více proměnných. I když je třeba zdůraznit, že to vyžaduje značnou pozornost a je též (aspoň u mne) i nemalé riziko chyb a musím se pořád kontrolovat.

aww · 14. 04. 2014 06:51

Děkuju, tento krok jsem již pochopil, mohl bych se zeptat na tento krok?

$\frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial v}$ \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial v}{\partial x}$=$

$=$\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\frac{\partial v}{\partial x}$ \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial v} \cdot $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}$=\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\cdot$\frac{\partial v}{\partial x}$^2+\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=$

jak jsme tam dostali druhou derivaci? Opět součin? Nevidim to v tom, konkrétně toto:

$\frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial v}$$

na

$=$\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\frac{\partial v}{\partial x}$$

Jj · 14. 04. 2014 10:05

↑ aww:

Předpokládám, že jste při kopírování nedodržel pořadí řádků z původního řešení, takový výsledek nelze dostat. Navíc v prvním řádku je derivace podle y, v "navazujícím" derivace podle x.

Řekl bych, že jde o tuto část původního řešení:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\cdots = \frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial v}$ \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial v}{\partial x}$=$
$= $\frac{\partial^2 F}{\partial v \partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$ \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial v} \cdot\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}$ ,

čili o jinou návazost výrazů.

Matematické Fórum

#1 12. 04. 2014 15:24

Transformace do nových nezávislých proměnných

#2 12. 04. 2014 17:23

Re: Transformace do nových nezávislých proměnných

#3 12. 04. 2014 18:49 — Editoval aww (12. 04. 2014 18:49)

Re: Transformace do nových nezávislých proměnných

#4 12. 04. 2014 21:00

Re: Transformace do nových nezávislých proměnných

#5 12. 04. 2014 21:20

Re: Transformace do nových nezávislých proměnných

#6 12. 04. 2014 21:50

Re: Transformace do nových nezávislých proměnných

#7 12. 04. 2014 22:16

Re: Transformace do nových nezávislých proměnných

#8 14. 04. 2014 06:51

Re: Transformace do nových nezávislých proměnných

#9 14. 04. 2014 10:05

Re: Transformace do nových nezávislých proměnných

Zápatí