Matematické Fórum

Martin Korálek · 07. 02. 2009 21:56

Nevíte jak na to?

Najděte jednotkový vektor kolmý k vektorům
u=(-1,2,1,1)
v=(2,1,0,1)
w=(3,1,1,2)

Olin · 07. 02. 2009 22:10

Aby byly dva vektory na sebe kolmé, musí být jejich skalární součin roven nule. Pro hledaný vektor x tedy musí platit
$\mathbf{x} \cdot \mathbf{u} = 0\nl \mathbf{x} \cdot \mathbf{v} = 0\nl \mathbf{x} \cdot \mathbf{w} = 0\nl |\mathbf{x}| = 1$

Pokud pak vezmeme např. $\mathbf{x}(x_1, x_2, x_3, x_4)$ , tak máme soustavu 4 rovnic o 4 neznámých. Řešením získáme hledaný vektor (pravděpodobně budou dva).

lukaszh · 07. 02. 2009 22:14

↑ Olin:↑ Martin Korálek:
Vektorov bude nekonečne veľa, v závislosti od parametra. Všetky však budú na priamke, teda potom stačí zvoliť za parameter ľubovoľné číslo. Vektor sa znormalizuje na jednotkovú dĺžku vzťahom:
$\mathbf{x}'=\frac{\mathbf{x}}{||\mathbf{x}||}$

Olin · 07. 02. 2009 22:23

↑ lukaszh:
Teď tě nechápu. Pokud dané vektory u, v, w nejsou komplanární, což jsem netestoval, tak řešením rovnic dle mnou uvedených 4 podmínek budou právě 2 jednotkové vektory.

lukaszh · 07. 02. 2009 22:28

↑ Olin:
Áno, je to tak, len ja som to riešil trocha iným spôsobom. Najprv riešim homogénny systém, t.j. upravujem maticu:
$\begin{pmatrix}-1&2&1&1\nl2&1&0&1\nl3&1&1&2\end{pmatrix}$
a dospejem k všeobecnému riešeniu s jedným parametrom. Zvolím za parameter číslo a znormalizujem ho. Samozrejme sú dva, ale zadanie nevyžaduje oba.

lukaszh · 07. 02. 2009 22:31

↑ Olin:
Teda nie, riešil som to rovnako :-) Tak nič, idem spať...

Martin Korálek · 07. 02. 2009 22:56

↑ lukaszh:

Nějak jsem nepochopil, co mám po upravení matice udělat. Můžete to prosím rozepsat?

lukaszh · 07. 02. 2009 23:34

↑ Martin Korálek:
Ide vlastne o riešenie systému troch lineárnych rovníc:
$\begin{bmatrix}-1&2&1&1\nl2&1&0&1\nl3&1&1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\nlx_2\nlx_3\nlx_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\nl0\nl0\nl0\end{bmatrix}$
Upravíš maticu, potom zistíš, že treba voliť parameter a zapíšeš množinu riešení. Ak som správne počítal, tak mi vyšli riešenia:
$t\cdot\begin{bmatrix}-1/3\nl-1/3\nl-2/3\nl1\end{bmatrix}\,;\;t\in\mathbb{R}$
Teraz ako popísal Olin riešiš rovnicu:
$||x||=1$
$||x||=\sqrt{$-\frac{1}{3}t$^2+$-\frac{1}{3}t$^2+$-\frac{2}{3}t$^2+t^2}=1\Rightarrow\boxed{|t|=\frac{3}{\sqrt{15}}}$
Teraz týmto parametrom vynásobíš vektor bázy a máš to.

Martin Korálek · 08. 02. 2009 08:07

↑ lukaszh:

Super, děkuju. Mohl by jsi mi prosímtě ještě napsat, jak dostanu ten vektor báze, kterým to mám vynásobit? Jsem trochu mimo.

lukaszh

↑ Martin Korálek:
Uvedom si, že si hľadal také t, aby vektor
$t\cdot\begin{bmatrix}-1/3\nl-1/3\nl-2/3\nl1\end{bmatrix}$
mal dĺžku jedna. Teraz som to t vypočítal, no tak teraz ten vektor tým t vynásobím:
$\pm\frac{3}{\sqrt{15}}\cdot\begin{bmatrix}-1/3\nl-1/3\nl-2/3\nl1\end{bmatrix}$

Matematické Fórum

#1 07. 02. 2009 21:56

Jednotkový vektor kolmý k vektorům

#2 07. 02. 2009 22:10

Re: Jednotkový vektor kolmý k vektorům

#3 07. 02. 2009 22:14

Re: Jednotkový vektor kolmý k vektorům

#4 07. 02. 2009 22:23

Re: Jednotkový vektor kolmý k vektorům

#5 07. 02. 2009 22:28

Re: Jednotkový vektor kolmý k vektorům

#6 07. 02. 2009 22:31

Re: Jednotkový vektor kolmý k vektorům

#7 07. 02. 2009 22:56

Re: Jednotkový vektor kolmý k vektorům

#8 07. 02. 2009 23:34

Re: Jednotkový vektor kolmý k vektorům

#9 08. 02. 2009 08:07

Re: Jednotkový vektor kolmý k vektorům

#10 08. 02. 2009 10:14 — Editoval lukaszh (08. 02. 2009 10:14)

Re: Jednotkový vektor kolmý k vektorům

Zápatí