Matematické Fórum

karlB · 21. 04. 2014 10:23

Ahoj,

mám řešit tuhle rovnici:

$y'(x) = xy(x)+\mathrm{x}^{2} \mathrm{e}^{x^2/2}$

vím že mám najít obecné a poté partikulární řešení. A že se jedná o lin. dif. rovnici 1. řádu.

U poodbných příkladů se nejprve řeší levá strana jako homogení rovnice a poté pravá strana metodou variace konstant. Jen nevím jestli je tento způsob správný a jestli mohu rovnici přepsat například do tvaru :

$y'(x) - xy(x)+\mathrm{x}^{2} \mathrm{e}^{x^2/2} = 0$

a řešit to pomocí \lambda přes kořeny...

Poradil by někdo jak na to?

Jj · 21. 04. 2014 10:47

↑ karlB:

Dobrý den, řekl bych, že nehomogenní lineární diferenciální rovnici 1. řádu můžete řešit každou metodou, kterou ovládáte. Tedy třeba řešení homogenní rovnice + variace konstant.

Pokud vím, tak pomocí charakteristické rovnice (jak uvádíte "pomocí \lambda") je účelné řešit až rovnice 2. řádu, nevím, co by to u rovnice 1. řádu mohlo přínést. Zřejmě je účelné zvolit některou z metod specializovaných na řešení rovnic 1. řádu.

karlB · 21. 04. 2014 11:41 — Editoval karlB (21. 04. 2014 11:42)

Děkuji Vám za radu. Mohl by jste mi prosím zkontrolovat můj postup?

Zvoli jsem separaci proměnných:

$y'(x) = xy(x)+{x}^{2}\mathrm{e}^{x^2/2}$

Nejprve se pokouším o řešení homogení rovnice

$y'(x) - xy(x) = 0$

abych nalezl obecné řešení.

Další můj postup:

$y'(x) = xy(x)$

$\frac{y'(x)}{y(x)}= x$

$\frac{1}{y(x)} \frac{dy}{dx} = x$

$\ln |y| +C_{1} = \frac{x^2}{2} + C_{2}$

$\frac{1}{y(x)} dy = x dx$

$y = e^{\frac{x^2}{2}} K$

kde K = c2- c1 a jedná se o obecné řešení

Dále se pokusím o partikulární řešení. Potřebuji tedy nejprve spočítat y' , kde jsem narazil na problém s derivací:

$y' = c(x)' e^{\frac{x^2}{2}}+ c(x) derivace(e^\frac{x^2}{2})$

derivace $e^{\frac{x^2}{2}}$ je podle wolframu hodně složitá, tudíž si myslím že něco dělám špatně..