Matematické Fórum

bluestorman · 27. 04. 2014 22:35

Dobrý den

Potřeboval bych pomoct s vyřešením následující úlohy:

Vyřešte následující problém:

Z menší části kruhové výseče s tupým středovým úhlem θ vystřižené z papírového kruhu o poloměru r je zhotoven kužel.

1. Vyjádřete objem tohoto kužele pomocí r a θ.
2. Pomocí substituce x = θ/2pi vyjádřete objem kužele jako funkci proměnné x.
3. Nakreslete graf této funkce a najděte hodnoty x a θ, pro které bude objem maximální; x vyjádřete na 4 desetinná místa.

Pokud vyřízneme z kruhu výseč, dostaneme výseče dvě a můžeme tak vyrobit dva kužele.

4. Najděte hodnotu nebo hodnoty x, pro kterou (pro které) bude součet objemů obou kuželů maximální.

jelena · 27. 04. 2014 22:50

Zdravím,

téma jsem přesunula do SŠ, kam patři. Úloh s kuželem (i tato) je zde více - zkus pohledat. Jinak nekonkretizuješ, s čím potřebuješ pomoct - začni obrázkem, který zde můžeš umístit a upřesní - co je konkrétně problém viz pravidla - bod 3. Děkuji.

bluestorman · 27. 04. 2014 23:49

Jo, omlouvám se ohledně zařazení. Potřeboval bych kompletní řešení dané úlohy, bod po bodu.

jelena · 28. 04. 2014 09:35

↑ bluestorman:

účelem fóra není poskytování kompletních řešení. Pokud se chceš na řešení aktivně podílet, potom ano, lze pokračovat - začni obrázkem, potom rozbor zadání, rozbor požadavků jednotlivých podúloh atd. Jinak označ téma za vyřešené a zkus se podívat po nabídkách hotových řešení od firem, co se tomu věnuji.

Děkuji za pochopení.

Rumburak · 28. 04. 2014 09:51

↑ bluestorman:

Ahoj. Zkus na to jít z druhé strany: uvažuj kužel a "rozbal" jeho plášť do kruhové výseče.

Honzc · 29. 04. 2014 09:59 — Editoval Honzc (29. 04. 2014 10:05)

↑ bluestorman:
Ta úloha se mi zdá, alespoň co se týká tohoto "Z menší části kruhové výseče s tupým středovým úhlem θ... ", a potom výpočtu bodu 3, nesmyslně zadaná. No nicméně.
Trochu ti napovím: (to tvé $\Theta$ si označím $\alpha$ , a připomínám, že je potřeba počítat v obloukové míře)
a) délka oblouku kružnice o poloměru $r$ nad středovým úhlem $\alpha$ se musí rovnat obvodu podstavy kuželu, který z té výseče "stočíš".
b) tak můžeš určit poloměr podstavy kuželu (označme ho třeba $r_{1}$ )
c) z osového řezu tímto kuželem a pomocí Pythagorovy věty spočítáš výšku kuželu (délka površky -strany kuželu je přitom samozřejmě $r$ )
d) z těchto údajů a vzorečku určíš objem kuželu
Tím máš vyřešeny body 1) a 2)
A teď k bodu 3. (bez počítání) - obecně musí platit:
Je jasné, že pokud bude středový úhel blízký nule pak poloměr kuželu, který z něho můžeš stočit se bude blížit nule a tedy i objem se bude blížit nule. Naopak, pokud se středový úhel bude blížit $2\pi (360^\circ )$ , pak zase výška se bude blížit nule a také objem se bude blížit nule.
To tedy znamená, že funkce (objemu) závislá na $x$ bude pro hodnoty $x=0$ a $x=1$ nulová.
Ani nemusíš znát předpis té funkce, abys podle Rolleovy věty mohl vyslovit hypotézu, že maximální objem (objem je kladné číslo) bude někde mezi krajními hodnotami $x$
Dále už pohledem zjistíš, že maximum leží někde za $x=\frac{1}{2}$ což odpovídá středovému úhlu $\alpha =\pi (180^\circ )$ a tedy proto, to nesmyslné zadání a největší objem bude, když se $\alpha$ bude blížit $\pi (180^\circ )$
Pokud by nebyl v zadání požadavek na stočení menší výseče (tupý úhel) pak vysledek je

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

K bodu 4)
To není vůbec snadné a předpokládá to znát numerické metody řešení rovnic

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jelena · 29. 04. 2014 11:42

↑ Honzc:

Zdravím,

proč se od vás nikdy nedočkám v příslušné sekci vyjádření k otázce kompletních řešení - že chcete fórum jiné a jinak - vždyť se to snad dá pokusit zdůvodnit? Místo toho se dočkám přidání příspěvku v tématu, kde jsem jasně napsala podmínky, za kterých téma bude diskutováno. Ovšem já se nedočkám ani drobné poznámky k příspěvku ↑ č. 4:.

Je to úloha, která je součást splnění podmínek předmětu, podrobněji zatím nevím. Tedy různé rozbory a náměty učitel očekává od kolegy (a zde na fóru je očekáváno dle pravidla 3).

K bodu 2 a 3 - řekla bych, že to je jen trochu umělý krok, jak ze zadání dostat pryč úhel $\theta$ a převést úlohu na "hledání extrému funkce f(x)". Závěrečný výpočet se předpokládá s využitím počítačů.

Tož pozdrav (i bratrovi) :-)

Honzc · 29. 04. 2014 12:16

↑ jelena:
Zdravím,
já jsem mu přeci nenapsal ani jeden vzoreček, pouze jsem mu napověděl jak na to.
A že jsem mu napsal výsledky, to jistě nic neznamená, pouze mu to může pomoci při ověření jeho výpočtů.

jelena · 29. 04. 2014 13:52

↑ Honzc:

:-) jsi pochyboval o zbytku účastníků tématu, že za předpokladu, že by se kolega rozhodl pokusit svůj problém řešit aktivně, tak bychom ho v tom nechali samotného? Zatím ale o téma nejevil zájem, tlapku o tlapku neudeřil, tak abychom se zbytečně nenamáhali. Přeci ten rozbor mu dá nejvíce, teď je o všechno ochuzen.

Pravda, o mně jsi pochyboval správně - vidím v tématu kolegu ↑ Rumburak:, tak v první řadě nesmím zapomenout dohledat, co Karolína psala o kornoutech :-)

bluestorman · 29. 04. 2014 15:17

Děkuji všem, kteří mi pomohli k vyřešení problému. Co se týče pravidel,omlouvám se, že jsem si je nepřečetl. Potřeboval jsem pomoci co nejrychleji a to se mi i splnilo. K večeru sem nahraju mé řešení, aby mohlo být napomocno popřípadě ostatním. Sem na foru prvně a nebyl čas na řešení pravidel. Tímto tedy ještě jedna omluva a nadále již budu vše přechozí považovat za samozřejmost. Děkuji za pomoc.

Matematické Fórum

#1 27. 04. 2014 22:35

Objem kuzele - prosím o pomoc

#2 27. 04. 2014 22:50

Re: Objem kuzele - prosím o pomoc

#3 27. 04. 2014 23:49

Re: Objem kuzele - prosím o pomoc

#4 28. 04. 2014 09:35

Re: Objem kuzele - prosím o pomoc

#5 28. 04. 2014 09:51

Re: Objem kuzele - prosím o pomoc

#6 29. 04. 2014 09:59 — Editoval Honzc (29. 04. 2014 10:05)

Re: Objem kuzele - prosím o pomoc

#7 29. 04. 2014 11:42

Re: Objem kuzele - prosím o pomoc

#8 29. 04. 2014 12:16

Re: Objem kuzele - prosím o pomoc

#9 29. 04. 2014 13:52

Re: Objem kuzele - prosím o pomoc

#10 29. 04. 2014 15:17

Re: Objem kuzele - prosím o pomoc

Zápatí