Matematické Fórum

damster

Ahoj,

připravuju se na maturitu z Petákové a narazil jsem na dva příklady se kterými si nevím rady.

"je dána krychle ABCDEFGH, a = 4 cm. Určete vzdálenost:

b) bodu F od roviny BEG
c) bodu F od roviny BCSae, kde Sae je střed hrany AE."

b) jsem si nejdříve vypočítal půlku uhlopříčky strany EFGH, potom jsem si vypočítal uhlopříčku obdélníku S(bd)BFS(fh), a z trojuhelníku BFS(fh), kde znám stranu BF = 4, uhlopříčku BS(fh) a půlku uhlopříčky FH = 2*odmocnina ze 2, jsem si dopočítal podle Euklidovy věty výšku na stranu c (resp. f), což by měla být daná vzdálenost v zadání. Bohužel jsem po dvou přepočítáních dospěl ke stejnému, avšak špatnému výsledku. Správný má být 4/3 * odmocnina ze 3 cm.

c) jsem nejdříve vypočítal stranu BS(ae), což mi vyšlo jako 2*odmocnina z 5. znovu jsem se snažil pomocí Euklidových vět dopočítat stranu FX v trojuhelníku BFS(ae), kde X je průsečík kolmice na stranu BS(ae) a téže strany procházející bodem F. Bohužel jsem opět dospěl k nesprávnému výsledku, který má vyjít 8/5*odmocnina z 5.

Děkuji za rady, opravdu mě tento příklad rozčiloval, buď dělám chybu numerickou, nebo někde jinde.

Vašek · 03. 05. 2014 19:54 — Editoval Vašek (03. 05. 2014 20:05)

b) Promiň, nerozumím moc tomu, cos dělal ,zkusím ti nastínit, jak bych to dělal já.
Můžeš uvažovat jehlan, který má vrchol nad těžištěm podstavy a jehož podstava je rovnostranný trojůhelník BEG o délce strany $4\sqrt{2}cm$ , délkou hrany 4cm a počítáš jeho výšku.

c) Spočítáš tu stranu BS, zjistíš úhel BSF, užiješ sin a taky to máš (kolmice z F na tuto rovinu leží na BS)

Jj · 03. 05. 2014 20:20

↑ damster:

Dobrý den, k úloze b:

Vzdálenost bodu F od roviny BEG je stejná jako vzdálenost bodu D od roviny ACH.
Krychli umístíme do kartézské souřadné soustavy s počátkem v bodě D a osami procházejícími
body A, C, H.
Rovnice roviny ACH bude x + y + z -4 = 0, její vzdálenost od počátku je $\frac{4}{3}\sqrt3$

damster · 03. 05. 2014 20:55

Vašek napsal(a):
c) Spočítáš tu stranu BS, zjistíš úhel BSF, užiješ sin a taky to máš (kolmice z F na tuto rovinu leží na BS)

Jak zjistíš ten úhel? A sin použít nemůžu, když BSF trojuhelník není pravoúhlý, ne?

Jinak děkuju za Bčko.

Vašek · 03. 05. 2014 22:03

Vyjádřil jsem se špatně, myslel jsem to, jako počítání ve čtverci, jestli mi rozumíš, máš čtverec ABEF a v něm trojůhelník SBF, jehož výšku počítáš, víš, kolik měří BS, AS, AB tak spočítáš uhel SBA, odečteš od 90 a máš úhel SBF, pak vzniká pravoúhlý trojůhelník PBF, kde P je pata výšky z F tohoto trojůhelníka a znáš úhel PBF=SBF a stranu BF.

damster · 03. 05. 2014 23:41

super, děkuju. vyřešeno :)

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2014 19:34 — Editoval damster (03. 05. 2014 19:35)

Vzdálenost bodu od roviny v krychli

#2 03. 05. 2014 19:54 — Editoval Vašek (03. 05. 2014 20:05)

Re: Vzdálenost bodu od roviny v krychli

#3 03. 05. 2014 20:20

Re: Vzdálenost bodu od roviny v krychli

#4 03. 05. 2014 20:55

Re: Vzdálenost bodu od roviny v krychli

Vašek napsal(a):

#5 03. 05. 2014 22:03

Re: Vzdálenost bodu od roviny v krychli

#6 03. 05. 2014 23:41

Re: Vzdálenost bodu od roviny v krychli

Zápatí