Matematické Fórum

janinka00001 · 03. 05. 2014 18:14

Dobrý den, potřebovala bych poradit s příkladem do fyziky. Už víc než hodinu zkouším všechny možné postupy, ale nemůžu se dobrat ke správnému řešení... :( Děkuju za pomoc :)

Na hladinu vody opatrně položíme jehlu z chromniklové oceli. Jaký smí být nanejvýš průměr jehly, aby ji povrchová vrstva vody udržela? Hustota chromniklové oceli je 7 900 kg × m–3, povrchové napětí vody je 0,073 N × m–1. Počítejte za předpokladu, že jehla má po celé délce stejný průměr. [1,55 mm]

marnes · 03. 05. 2014 20:36

↑ janinka00001:

Jehlu si představ jako válec položený na vodě (nebo plovoucí kláda)

Povrchové napětí je $\sigma =\frac{F}{l}$ kde F je povrchová síla a l je délka obvodu klády v místě s kontaktu s vodou. (jinak řečeno osový řez válce, kterým je obdélník)

Vycházíme z rovnosti F a FG. Kdyby byla FG větší jak F, tak se jehla potopí

$F=F_{G}=mg=V\varrho g=Sh\varrho g$

$l=2d+2h$

$\delta =\frac{Sh\varrho g}{2d+2h}$

$\delta =\frac{\frac{\pi d^{2}}{4}h\varrho g}{2d+2h}$

To je obecné řešení
a buď něco přehlížím, nebo v zadání chybí délka jehly.
Když tak snad někdo opraví či doplní

runcorne

No, já myslím, že délku nepotřebuješ...:
Vyjdeme-li z toho, že tlak se musí rovnat povrchovému napětí:
$p = \frac{F}{S}=\frac{mg}{S} = \frac{\varrho gl\pi d^{2}}{4S}$
$p=\frac{\varrho \pi ld^{2}g}{4S}=\frac{\varrho \pi ld^{2}g}{4dl}$
$p=\frac{\pi d\varrho g}{4}$

A pro povrchové napětí platí:
$p_{k}=\frac{2\sigma }{d}$
takže:
$\frac{2\sigma }{d}=\frac{\pi d\varrho g}{4}$
$d= \sqrt{\frac{8\sigma }{\pi g\varrho }}$
konkrétně:
$d= \sqrt{\frac{8*0,073 }{\pi*9,81*7900 }} \doteq 1,55 mm$

marnes · 03. 05. 2014 22:02

↑ runcorne:
To bude asi ono. Vycházet z rovnosti tlaků a ne rovnosti sil.

runcorne · 03. 05. 2014 22:10

Jo, snad jo... i když s rovnováhou sil by to možná mělo jít taky...

$F_{g}=F_{p}$
$mg=2l*\sigma$
$\frac{\varrho \pi ld^{2}g}{4}=2l*\sigma$
$d=\sqrt{\frac{8\sigma }{\varrho \pi g}}$

marnes · 03. 05. 2014 22:28

↑ runcorne:
No ale v druhém řádku by mělo být
$mg=2(d+l)*\sigma$
nebo se pletu?

runcorne · 04. 05. 2014 01:03

↑ marnes:
No, ve své podstatě asi máš pravdu (obecně a zcela přesně), tady ale myslím jde o tom, že platí (u jehly):
$l>>d$
Jevy vznikající u špiček jehly jsou tedy natolik zanedbatelné, že by se ztratily při zaokrouhlování, takže se na situaci díváme takhle:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/57604_1111.PNG

A potom postupujeme standardně podle toho, že:
$F=2l\sigma$ (z obrázku je vidět, proč tam musí být ta 2, jsou tam „dvě blány“ povechového napětí).

Bez toho zjednodušení by se to asi nepěkně zkomplikovalo.

Brzls · 04. 05. 2014 09:52

Zdravím

Je to přesně tak, jde jen o aproximaci. Pokud je někdo jako já zastánce přesného řešení a až následného zjednodušení (je-li to možné), tak:

$mg=2(l+d)*\sigma$

$\frac{\varrho \pi g}{8\sigma }\frac{d^{2}l}{l+d}=1$

$\frac{\varrho \pi g}{8\sigma }\cdot d^{2}\cdot \frac{1}{1+\frac{d}{l}}\approx \frac{\varrho \pi g}{8\sigma }\cdot d^{2}\cdot(1-\frac{d}{l})\approx \frac{\varrho \pi g}{8\sigma }\cdot d^{2}=1$

A odsud už hledaný výsledek, využili jsme rozvoje zlomku do geometrické řady a zanedbání veličin druhého řádu

janinka00001 · 04. 05. 2014 13:57

Moc vám děkuju :). Konečně ten postup (zjednodušený) chápu. Jen bych se ještě chtěla zeptat, jak poznáte, že jehla má dvě blány povrchového napětí? V tom obrázku to nijak nevidím...

marnes · 04. 05. 2014 21:24 — Editoval marnes (04. 05. 2014 21:24)

↑ janinka00001:
Jedna zprava a druhá zleva.

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2014 18:14

Kapaliny - povrchové napětí, kapilární tlak

#2 03. 05. 2014 20:36

Re: Kapaliny - povrchové napětí, kapilární tlak

#3 03. 05. 2014 21:17 — Editoval runcorne (03. 05. 2014 21:17)

Re: Kapaliny - povrchové napětí, kapilární tlak

#4 03. 05. 2014 22:02

Re: Kapaliny - povrchové napětí, kapilární tlak

#5 03. 05. 2014 22:10

Re: Kapaliny - povrchové napětí, kapilární tlak

#6 03. 05. 2014 22:28

Re: Kapaliny - povrchové napětí, kapilární tlak

#7 04. 05. 2014 01:03

Re: Kapaliny - povrchové napětí, kapilární tlak

#8 04. 05. 2014 09:52

Re: Kapaliny - povrchové napětí, kapilární tlak

#9 04. 05. 2014 13:57

Re: Kapaliny - povrchové napětí, kapilární tlak

#10 04. 05. 2014 21:24 — Editoval marnes (04. 05. 2014 21:24)

Re: Kapaliny - povrchové napětí, kapilární tlak

Zápatí