Matematické Fórum

jirakst

Ahoj,

řeším následující příklad a nejsem si jistý postupem:
Pomocí Z-transformace nejdětě řešení diferenční rovnice
$y(n+2)+3y(n+1)+2y(n)=(-1)^{n} pro y(0)=0, y(1)=0$

Ze slovníku Z-transformace jsem udělal rovnici $z^{2}Y(z)+3zY(z)+2Y(z) = \frac{z}{z+1}$ a vyjádřil $Y(z) = \frac{z}{(z+1)^{2}(z+2)}$ , kde z=-1 je pól 2. řádu a z=-2 pól 1. řádu.
Dále jsem postupoval podle postupu, který jsem našel ve sbírce (VUT Brno), ale příliš netuším, proč to tak vlastně je
pro n=0: $Y(z)z^{-1}= \frac{z}{z(z+1)^{2}(z+2)}$
$f(0)= res_{z=-1}[\frac{1}{(z+1)^{2}(z+2)}]+res_{z-2}[\frac{1}{(z+1)_{2}(z+2)}]=-1+1=0$
pro n=1: $Y(z)z^{0}= \frac{z}{(z+1)^{2}(z+2)}$
$f(1) = lim_{z>-1}(\frac{z}{z+2})\frac{d}{dz}+lim_{z>-2}\frac{z}{(z+1)^{2}}=2-2=0$
pro n=2,3,...: $Y(z)z^{n-1}= \frac{z^{n}}{(z+1)^{2}(z+2)}$
$f(n) = lim_{z>-1}(\frac{z^{n}}{z+2})\frac{d}{dz}+lim_{z>-2}\frac{z^{n}}{(z+1)^{2}}=(-1)^{n}+\frac{(-2)^{n}}{9}$
Dále jsem napsal, že F(z) je posloupnost $\{f(n)\}\frac{nekon.}{n=0}=(0, 0, \frac{13}{9}, \frac{17}{9}, ...)$ .
Ze střední si pamatuji, že se jedná o hodnoty jednotlivých vzorku z původní funkce, ale nevím proč jsem měl počitat f(0) a f(1) a když si dosadím do výsledku pro f(n), tak to nevychází. Mohu nějak ovlivnit vzorkovací frekvenci?
Také by mě zajímalo, co jsou to vlastně ta rezidua :-) Ze vzorce se mi zdá, že by mohli umožňovat výpočet funkce tím, že z něho vyjmou nespojitost, ale moc se mi to nezdá.
Předem dík za odpověď.