Matematické Fórum

zuzaproch5 · 11. 05. 2014 13:33

Ahoj, mám problém s pochopením, kdy můžu použít ekvivalence u limit a kdy ne. Třeba u příkladu: $\lim_{n\to oo} ((cos (pi*n^a))-1)/n^a$ , kde a je reálný parametr $a\ge 1$ . Tady $pi*n^a$ nejde k minus nekonečnu, takže to nemůžu použít, že?

Rumburak

↑ zuzaproch5:

Ahoj.

Čemu říkáš "ekvivalence u limit " ?

Limita, kterou uvádíš, není tak obtížná, abychom k jejímu výpočtu museli používat nějakých rafinovaných technik:
čitatel zlomku je vždy v intervalu [-2, 0], jmenovatel jde k plus nekonečnu, takže ... ?.

zuzaproch5

↑ Rumburak:
Takže limita je nula :-). Ekvivalencemi myslím tohle: $\mathrm({e}^{x})-1\approx \ln (1+x)\approx \sin(x)\approx \text{tg}(x)\approx arcsin(x)\approx arctg(x)\approx x , u 0$ , $1-\cos (x)\approx x^2/2$ u minus nekonečna, $arccos(1-x)\approx (2x)^{1/2}$ u nuly z prava, $arccotg (x)\approx 1/x$ u nekonečna.
Už mi bylo vysvětleno, jak se to s nima má, když jsou ty ekvivalence u 0 nebo nekonečna... Tak k nule nebo k nekonečnu nemá jít ta limita , ale to x, když to k tomu nejde, tak ekvivalenci nemůžu použít. chápu to správně nebo mě prosím opravte

Rumburak

↑ zuzaproch5:

Jasně, díky.
Ku tvému původnímu dotazu ohledně použití asymptotiky při výpočtu limity $\lim_{n\to oo} ((cos (pi*n^a))-1)/n^a$ :
Problém je, myslím, s limitou čitatele, o níž je obtížné rozhodnout obecně. Například pro $a$ celé neexistuje.

Příslušná věta, jejíž důkaz není těžký, říká ("samozřejmé" předpoklady o funkcích $f, g$ vynechávám):

Je-li $\lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)} = 1$ , potom

(1) $\lim_{x \to a}f(x) =\lim_{x \to a}g(x)$ ,

pakliže některá z limit v rovnosti (1) existuje.

Rovnost (1) by se dala zobecnit na $\lim_{x \to a}f(x)h(x) =\lim_{x \to a}g(x)h(x)$ (je to celkmem zřejmé) a v tom spočívá
význam uvedené věty při počítání některých limit.

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2014 13:33

Ekvivalence u limit

#2 12. 05. 2014 09:56 — Editoval Rumburak (12. 05. 2014 12:25)

Re: Ekvivalence u limit

#3 12. 05. 2014 16:41 — Editoval zuzaproch5 (12. 05. 2014 16:45)

Re: Ekvivalence u limit

#4 12. 05. 2014 17:06 — Editoval Rumburak (13. 05. 2014 09:40)

Re: Ekvivalence u limit

Zápatí