Matematické Fórum

nikkusak

Dobrý den,
prosím o pomoc při řešení následujícího příkladu. S těmito typy úloh si nevím moc rady :(

y´´-3y´= $e^{-x}$

$y(0)=1$
y´(0)=-1

vyšlo mi že $\lambda$ = 0 a 3 a z toho jsem se dostala k fundamentálnímu systému = 1 a $e^{3x}$

Poté mi vyšlo, že
$y_{h}=c_{1}+c_{2}e^{3x}$
potom podle obecného řešení jsem si zjistila, že A=-1 a B=0, k si myslím, že je nula, ale nejsem si jistá.

poté jsem si zderivovala $y_{h}$ a vyšlo mi y´ $_{h}=3c_{1}e^{3x}$

A dál už nevím, co s tím mám dělat, navíc si myslím, že v tom mám moc chyb... předem děkuju komukoliv za pomoc

Anonymystik

↑ nikkusak: Obecné řešení máš dobře. Ještě musíš najít partikulární řešení a potom splnit okrajové podmínky. Nejdřív to partikulární řešení - použijeme metodu neurčitých koeficientů: zkus najít takovou konstantu $A$ , aby pro $y_P = A e^{-x}$ platitlo, že $y_P^{\prime \prime} - 3 y_P^{\prime} = e^{-x}$ . Napiš, jak ti to vyšlo a pak kdyžtak ještě poradím, co s těmi okrajovými podmínkami, kdyby byl problém. :-)

nikkusak · 18. 05. 2014 22:10

↑ Anonymystik:
jestli tomu dobře rozumím, tak si udělám 1. a 2. derivaci a tu potom dosadím do původní rovnice. Podle téhle úvahy jsem vypočítala 1. derivaci -> $3c_{1}e^{3x}$ a druhou derivaci -> $9c_{1}e^{3x}$

když jsem si to dosadila do rovnice, tak mi vyšlo
$9c_{1}e^{3x} - 9c_{1}e^{3x} = e^{-x}$
tedy
$0=e^{-x}$

to se mi zdá jako nesmysl =o

Anonymystik

↑ nikkusak: Ne, ty totiž zaměňuješ dvě věci: řešení homogenní rovnice a potom nalezení partikulárního řešení.
--
Řešit homogenní rovnici znamená řešit rovnici, jako by tam na pravé straně byla nula - v tvém případě toto: $y_h^{\prime \prime} - 3y_h^{\prime} = 0$ . Homogenní rovnici jsi vyřešila správně - $y_h = c_1 + c_2 e^{3x}$ .
--
A teď je potřeba najít partikulární řešení - najít nějaké, aspoň jedno řešení, které vyhovuje původní rovnici: $y_p^{\prime \prime} - 3 y_p^\prime = e^{-x}$ . Metoda je ta, že si řešení tipneš, je to něco tvaru $y_p = Ae^{-x}$ pro nějakou neznámou konstantu konstantu $A$ . Spočítáš $y_p^{\prime} = -Ae^{-x}$ , $y_p^{\prime\prime} = Ae^{-x}$ a odtud po dosazení do původní rovnice dostaneš: $Ae^{-x} + 3Ae^{-x} = e^{-x}$ , po vykrácení výrazem $e^{-x}$ dostaneš, že $A + 3A = 1$ , neboli $A = \frac{1}{4}$ . Takže partikulární řešení je $y_p = \frac{1}{4} e^{-x}$ . Tomuto postupu se říká metoda neurčitých koeficientů a slouží právě pro nalezení partikulárního řešení.
--
Dále: obecné řešení je součtem řešení homogenního a partikulárního - $y = y_h + y_p$ , takže $y = c_1 + c_2e^{-3x} + \frac{1}{4}e^{-x}$ . Teď už je jenom potřeba splnit okrajové podmínky. Víš, jak na to?

nikkusak · 19. 05. 2014 10:57

↑ Anonymystik:

No, dosadila bych si první podmínku y(0)=1 do $y_{(h)}=c_{1}+c_{2}e^{3x}$
tedy 1= c1+c2 -> z toho c1=1-c2

potom si dosdím druhou podmínku y´(0)=-1 dosadím do rce $y_{(o)}=c_{1}+c_{2}e^{3x} +\frac{1}4{e^{-x}}$
a vyjde mi -1=c1+c2+1/4 ... a když so potom do toho dosadím to c1=1-c2, tak mi vyjde kravina... -1=5/4 ... zase mi nic nevyšlo :( ... omlouvám se za zdržování... nevím, co mám kam dosadit.. moc děkuju za pomoc

Anonymystik

↑ nikkusak: Dosazuješ přímo do vztahů:
$y = c_1 + c_2e^{-3x} + \frac{1}{4}e^{-x} (1)$ , resp.
$y^{\prime} = -3 c_2e^{-3x} - \frac{1}{4}e^{-x} (2)$ .
--
Víš, že $y(0) = 1$ , což po dosazení do (1) dává $1 = c_1 + c_2 + \frac{1}{4}$
Víš, že $y^{\prime}(0) = -1$ , což po dosazení do (2) dává $-1=-3c_2 - \frac{1}{4}$ .
To je soustava dvou rovnic pro čísla $c_1, c_2$ , kterou vyřešíš.

nikkusak · 19. 05. 2014 13:09

↑ Anonymystik:

A jo, to jsem to zase celý přeházela :-/ díky za pomoc.
c2 mi vyšlo $\frac{1}{4}$
a c1 mi vyšlo $\frac{1}{2}$

když jsem to tedy potom dosadila do rovnice, tak mi vyšlo:
$y=\frac{1}{2} +\frac{1}{4}e^{-3x}+\frac{1}{4}e^{-x}$

snad už to mám dobřo :-o

Vážně moc děkuju :)

Matematické Fórum

#1 18. 05. 2014 21:01 — Editoval nikkusak (18. 05. 2014 21:02)

Diferenciální rovnice n-tého řádu s konstatními koeficienty

#2 18. 05. 2014 21:44 — Editoval Anonymystik (18. 05. 2014 21:46)

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu s konstatními koeficienty

#3 18. 05. 2014 22:10

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu s konstatními koeficienty

#4 18. 05. 2014 22:40 — Editoval Anonymystik (18. 05. 2014 22:44)

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu s konstatními koeficienty

#5 19. 05. 2014 10:57

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu s konstatními koeficienty

#6 19. 05. 2014 12:33 — Editoval Anonymystik (19. 05. 2014 12:36)

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu s konstatními koeficienty

#7 19. 05. 2014 13:09

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu s konstatními koeficienty

Zápatí