Matematické Fórum

Makakpo

Ahojte, mam takuto ulohu:
Dokazte ze funkcia $f(x)=x^2 + 2x$ je spojita v bode 1.Ake velke delta okolie bodu 1, vziat aby vsetky funkcne hodnoty padli do epsilon okolia (e=0,1) bodu f(1) ?
Mam trochu problem lebo z tohto : http://www.fastimages.eu/images/obrazoxux.png viem napriklad odpovodit toto:
http://www.fastimages.eu/images/obrazoara.png

Tam na konci uz neviem urcit do akeho intervalu bude patrit x ak delta je mensie ako jedna, ale viem ze postup je spravny len potrebujem trochu nakopnut. Pomozte prosim.

Rumburak

↑ Makakpo:

Ahoj.

Nechť je dáno libovolné $\varepsilon > 0$ . Podle definice spojitosti se má nelézt $\delta > 0$ takové, aby
pro libovolné $x$ splňující $|x - 1| < \delta$ bylo

(1) $|f(x) - f(1)| < \varepsilon$ .

Postupuje se rozapsáním nerovnice (1) do tvaru

(2) $f(1) - \varepsilon < f(x) < f(1) + \varepsilon$

a snažíme se ji řešit pro neznámou $x$ a parametr $\varepsilon$ . Pokud najdeme čísla $a, b$ taková, že $a < 1 < b$
a pro každé $x \in (a, b)$ platí (2) , potom nebude těžké najít nějaké $\delta$ , jaké hledáme .

Makakpo · 23. 05. 2014 13:24

ano, ale tie cisla $a,b$ neviem urcit. ako na to?

jarrro · 23. 05. 2014 16:04

ide len o nájdenie vzoru intervalu $$3-\varepsilon, 3+\varepsilon$$ pri zobrazení f
čiže vlastne o hľadanie inverznej funkcie

Makakpo · 23. 05. 2014 16:12

tak ake budu tie a,b?

jarrro · 23. 05. 2014 16:17 — Editoval jarrro (23. 05. 2014 16:24)

↑ Makakpo:nakresli si to

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Makakpo

nech delta je mensie ako 1, potom x patri do intervalu (0,2) spravne ? Ale to je asi dost velke delta okolie, keby som povedal: nech delta je mensia ako $1/10$ potom x patri do intervalu $(9/10,11/10)$

vanok · 23. 05. 2014 16:36 — Editoval vanok (23. 05. 2014 17:25)

Poznamka ( ktora moze posluzit na jedno riesenie problemu):
Moze byt vyhodne poznamenat, ze
$| f(x)-f(m)|= |x^2+2x-m^2-2m|=|x-m|.|x+m+2|$
( umyselne som vybral bod absisy m, i ked staci pracovat pre m=1).
Teraz je lahko nast napr. pre $x \in [m-1,m+1]$ majoraciu pre $|x+m+2|$ .

jarrro · 23. 05. 2014 16:36

↑ Makakpo:ty máš práve deltu hľadať tie a, b musia závisieť na epsilon konkrétne to musia byť funkčné hodnoty inverznej funkcie k funkcii f v bodoch 3-eps a 3+eps

Makakpo

ale ked zadam delta tak najdem epsilon nie? ved predsa spolu suvisia

jarrro · 23. 05. 2014 16:40

↑ Makakpo:áno ale ty máš k dispozícii nejaké epsilon a musíš k nemu nájsť vyhovujúce delta

Makakpo · 23. 05. 2014 16:43

tu som dal delta a epsilon takmer do vztahu: http://www.fastimages.eu/images/obrazoara.png ak budem vediet z akeho intervalu je x, tak potom budem vediet z akeho intervalu je x+3 a nasledne ohranicim epsilon. idem na to zle?

Rumburak

↑ Makakpo:

Pokračování příspěvku ↑ Rumburak:.

Především tu nerovnici (2) přepíšeme pro onu konkretní funkci $f(x)=x^2 + 2x$ , takže pak dostane tvar

(3) $3 - \varepsilon < x^2 + 2x < 3 + \varepsilon$ .

Nyní je zapotřebí trocha matematické kreativity. K nerovnosti (3) přičteme číslo 1 a dostaneme

$4 - \varepsilon < x^2 + 2x + 1 < 4 + \varepsilon$ ,
(4) $4 - \varepsilon < (x+ 1)^2 < 4 + \varepsilon$ .

Na tomto místě uvedu důležitou poznámku: zvětšujeme-li hodnotu parametru $\varepsilon > 0$ , potom množina všech
řešení nerovnice (1) (a dalších nerovnic z ní odvozených) se určitě nezmenšuje, spíše se zvětšuje. Takže
je-li k nějakému $\varepsilon > 0$ nalezeno číslo $\delta$ z definice spojitosti , potom totéž $\delta$ bude použitelné i tehdy, když
hodnotu $\varepsilon$ zvětšíme. Proto kvantifikátoru "ke každému $\varepsilon > 0$ " z definice spojitosti nutno rozumět ve smyslu
"k libovolně malému $\varepsilon > 0$ ". To platí nejen u této konkretní úlohy, ale u definice spojitosti obecně.

Na základě těchto úvah zpřísníme volbu čísla $\varepsilon > 0$ podmínkou $\varepsilon \le 4$ . Potom můžeme nerovnost (4) odmocnit:

(5) $\sqrt{4 - \varepsilon} < |x+1| < \sqrt{4 + \varepsilon}$ .

Zajímají nás body $x$ blízké bodu 1 , proto můžeme k nerovnici (5) přidat podmínkou $x \ge -1$ , což nám umožní
zbavit se v (5) absolutní hodnoty:

$\sqrt{4 - \varepsilon} < x+1 < \sqrt{4 + \varepsilon}$ ,
$\sqrt{4 - \varepsilon}-1 < x < \sqrt{4 + \varepsilon} - 1$ .

Tím jsou nalezena čísla $a = \sqrt{4 - \varepsilon}-1 , b = \sqrt{4 + \varepsilon} - 1$ . Zřejmě $a < b$ , dále

$a = \sqrt{4 - \varepsilon}-1 < \sqrt{4}-1 = 2-1 = 1$ ,
$b = \sqrt{4 + \varepsilon}-1 > \sqrt{4}-1 = 2-1 = 1$ ,

takže hledané $\delta$ bude ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Obrázek grafu funkce $f$ může pomoci k pochopení tohoto postupu.

vanok · 23. 05. 2014 20:07 — Editoval vanok (23. 05. 2014 20:08)

Dokoncim tu moju myslienku z # 8.
$x \in [m-1,m+1]$
znamena
$m-1 \le x \le m+1$ , co da
$2 m +1\le x+ m+2 \le 2m+3$
Toto nam da tento vysledok
$|x+ m+2| \le 2|m|+3$ .
$| f(x)-f(m)|= |x^2+2x-m^2-2m|=|x-m|.|x+m+2| \le |x-m|(2|m|+3)$

Pre $m=1$ , posledna nerovnost sa pise:
$|f(x)-f(1)| \le |x-1|(2+3) \le 5|x-1|$ .
To da, ze $\delta = \frac {\varepsilon} 5$ vyhovuje....

Brano · 23. 05. 2014 21:16 — Editoval Brano (23. 05. 2014 21:23)

vsetky postupy su samozrejme ok, ale ked sa to tu uz tak rozbehlo tak aj ja pridam jeden :-)

$|f(x)-f(1)|=|x^2+2x-3|=|x-1|\cdot|x+3|< 5|x-1|$ kde ta posledna nerovnost plati na $x\in(0,2)$ co je okolie $1$ .

Podla mna je technicky najjdenoduchsie dokazovat v tychto nezmyselnych prikladoch na spojitost trosku silnejsiu vlastnost a to je - lokalna Lipschizovska spojitost (teda za predpokladu, ze plati )

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2014 11:59 — Editoval Makakpo (23. 05. 2014 12:01)

Dokaz spojitosti

#2 23. 05. 2014 13:05 — Editoval Rumburak (23. 05. 2014 17:24)

Re: Dokaz spojitosti

#3 23. 05. 2014 13:24

Re: Dokaz spojitosti

#4 23. 05. 2014 16:04

Re: Dokaz spojitosti

#5 23. 05. 2014 16:12

Re: Dokaz spojitosti

#6 23. 05. 2014 16:17 — Editoval jarrro (23. 05. 2014 16:24)

Re: Dokaz spojitosti

#7 23. 05. 2014 16:29 — Editoval Makakpo (23. 05. 2014 16:36)

Re: Dokaz spojitosti

#8 23. 05. 2014 16:36 — Editoval vanok (23. 05. 2014 17:25)

Re: Dokaz spojitosti

#9 23. 05. 2014 16:36

Re: Dokaz spojitosti

#10 23. 05. 2014 16:37 — Editoval Makakpo (23. 05. 2014 16:37)

Re: Dokaz spojitosti

#11 23. 05. 2014 16:40

Re: Dokaz spojitosti

#12 23. 05. 2014 16:43

Re: Dokaz spojitosti

#13 23. 05. 2014 17:15 — Editoval Rumburak (24. 05. 2014 11:47)

Re: Dokaz spojitosti

#14 23. 05. 2014 20:07 — Editoval vanok (23. 05. 2014 20:08)

Re: Dokaz spojitosti

#15 23. 05. 2014 21:16 — Editoval Brano (23. 05. 2014 21:23)

Re: Dokaz spojitosti

Zápatí