Matematické Fórum

kaitlyn

Zdravím lidičky :)

Nevíte, prosím, proč množina všech matic typu 2x2 tvaru
$\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix}$
se standardními operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem netvoří vektorový prostor nad $\mathbb{R}$ ?

Dle výsledků jisté sbírky, tato množina nesplňuje níže uvedené axiomy vektorového prostoru:
$\forall \vec{u} \in U \exists \overrightarrow{(-u)} \in U: \vec{u} + \overrightarrow{(-u)} = \overrightarrow{0}$ ,
$\forall \vec{u} \in U \exists \overrightarrow{0} \in U: \vec{u} + \overrightarrow{0} = \vec{u}$ ,
a proto nemůže být vektorovým prostorem.

Podle mého je vše v pořádku, je-li $a, b \in \mathbb{R}$ . V čem je tedy problém?

Andrejka3 · 24. 05. 2014 19:42

↑ kaitlyn:
Ahoj.
Zkoušel jsi takové dvě matice sečíst?

Ohledně výsledků.
Ve výroku $\forall \vec{u} \in U \exists \overrightarrow{(-u)} \in U: \vec{u} + \overrightarrow{(-u)} = \overrightarrow{0}$ nevím, co je $\vec{0}$ .
Formule $\forall \vec{u} \in U \exists \overrightarrow{0} \in U: \vec{u} + \overrightarrow{0} = \vec{u}$ opravdu není splněna. Zkus sečíst dvě matice.

kaitlyn

Ahoj ↑ Andrejka3: :)

$\overrightarrow{0}$ ve formuli představuje nulový vektor.

Vlastnost $\forall \vec{u} \in U \exists \overrightarrow{0} \in U: \vec{u} + \overrightarrow{0} = \vec{u}$ jsem "ověřovala" takto:
$\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix} + Mat_{2,2}(\mathbb{R}) = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix}$

$Mat_{2,2}(\mathbb{R})$ je tedy
$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Pro vlastnost $\forall \vec{u} \in U \exists \overrightarrow{(-u)} \in U: \vec{u} + \overrightarrow{(-u)} = \overrightarrow{0}$ pak musí platit:
$\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a & -1 \\ -1 & -b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Operace definovaná na vektorovém prostoru je standardní sčítání matic, tj. $a_{ij} + b_{ij}$ . Nechápu tedy, proč nejsou výše uvedené axiomy splněny :(

Andrejka3 · 25. 05. 2014 00:36

↑ kaitlyn:
1)
$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ neni v te mnozine matic. Nema jednicky na vedlejsi diagonale.
Mimochodem, axiom $\forall \vec{u} \in U \exists \overrightarrow{0} \in U: \vec{u} + \overrightarrow{0} = \vec{u}$ bych spise cekala ve tvaru jinem, kdy jsou prehozene kvantifikatory (existuje neutralni prvek vzhledem ke scitani).
2) K inverzi podobne to, co k 1)

kaitlyn · 25. 05. 2014 13:46

↑ Andrejka3:, máš pravdu s tím axiomem (po zkopírování jsem asi zapomněla přehodit kvantifikátory a jen poupravila vektory) :)

Co se týče nulové matice, už je mi to jasné. Díky moc :)

Jestli tedy dobře chápu, pak komutativitu dokážu takto:
$\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a' & 1 \\ 1 & b' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+a' & 2 \\ 2 & b+b' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a'+a & 2 \\ 2 & b'+b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a' & 1 \\ 1 & b' \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ ???
Nebo nesčítám jedničky? To by ale nevyhovovalo standardní operaci sčítání matic, že?

vanok · 25. 05. 2014 14:07

↑ kaitlyn:,
Ahoj, tvoj vypocet tykajuci sa komutativity plati v priestore vsetkych realnych matic $Mat_{2,2}(\mathbb{R})$ !
Ale ako vidis, ze v tvojej specialnej mnozine matic neplati. Presne preto ako mozes poznamenat v tvojom vypocte: tie dvojky na vedlajsej diagonale.
Inac povedane, uz to dokazuje, ze nemoze ist o vektorovy podpriestor priestoru $Mat_{2,2}(\mathbb{R})$ ...

kaitlyn · 25. 05. 2014 14:33

Ahoj ↑ vanok:,

jak píšeš, můj výpočet komutativity neplatí pro množinu matic typu 2x2 tvaru
$\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ .

V řešení sbírky, podle níž pracuji, je uvedeno, že je splněna komutativita i asociativita. Nevím tedy, jak komutativitu či asociativitu dokázat, aby mi na vedlejší diagonále nevznikly 2 při dodržení standardního sčítání matic :(

Špatně se to píše :( Chápeš o co mi jde?

Andrejka3 · 25. 05. 2014 15:56

↑ kaitlyn:
To plus není binární operace na oné množině. Nemá smysl se pak bavit o komutativitě apod.
Věř svým výsledkům. V knihách bývají chyby.

kaitlyn

↑ Andrejka3:, ↑ vanok:

Díky :)

Marian · 26. 05. 2014 09:31

↑ vanok:

Přesně tak, není splněna uzavřenost operací, k ověření axiomů není třeba přistupovat.

vanok · 26. 05. 2014 09:57

Pozdravujem ↑ Marian:,
Presne tak.
Ale ako sa zda kolegina chcela overovat ( podla jej zbierky) vlasnosti, ktore ktore nemali vobec zmysel na danej mnozine. A je prekvapive, ze v tej zbierke citatelia neboli vedeni ku konstatacii, ze operacia scitanie vektorov a nasobenie skalarmy nie su na nej definovatelne. (I ked mozno to bol pedagogicky umysel autora zbierky, aby jeho citatelia nerobili na slepo co sa im navrhne ...)

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2014 18:13 — Editoval kaitlyn (24. 05. 2014 18:59)

Matice jako vektorový prostor

#2 24. 05. 2014 19:42

Re: Matice jako vektorový prostor

#3 24. 05. 2014 22:35 — Editoval kaitlyn (24. 05. 2014 22:37)

Re: Matice jako vektorový prostor

#4 25. 05. 2014 00:36

Re: Matice jako vektorový prostor

#5 25. 05. 2014 13:46

Re: Matice jako vektorový prostor

#6 25. 05. 2014 14:07

Re: Matice jako vektorový prostor

#7 25. 05. 2014 14:33

Re: Matice jako vektorový prostor

#8 25. 05. 2014 15:27 — Editoval Andrejka3 (25. 05. 2014 15:32) Příspěvek uživatele Andrejka3 byl skryt uživatelem Andrejka3. Důvod: Přehlédla jsem přispěvek č.5

#9 25. 05. 2014 15:56

Re: Matice jako vektorový prostor

#10 25. 05. 2014 20:02 — Editoval kaitlyn (25. 05. 2014 20:02)

Re: Matice jako vektorový prostor

#11 26. 05. 2014 09:31

Re: Matice jako vektorový prostor

#12 26. 05. 2014 09:57

Re: Matice jako vektorový prostor

Zápatí