Matematické Fórum

mart1nka · 26. 05. 2014 14:58

Prosím o pomoc s následujícím příkladem: Uveďte, které geodetiky obecné válcové plochy jsou zároveň hlavními křivkami. Nedokážu zjistit ani ty geodetiky, natož zda jsou hlavními křivkami... Myslím, že by to mělo jít přes větu, že křivka q je geodetikou právě tehdy, když [q', q'', N]=0, kde N je jednotkový normálový vektor té obecné válcové plochy...

Brano · 27. 05. 2014 22:58 — Editoval Brano (27. 05. 2014 23:19)

Bez ujmy na vseobecnosti mozes predpokladat, ze polomer valca je 1 a ten si mozes zapisat v cylindickych suradniciach. Potom mas $N=(\cos\varphi,\sin\varphi,0)$ . Uvazuj parametrizaciu krivky $x=\cos \varphi(t),\ y=\sin \varphi(t),\ z=z(t)$ a vypocitaj si smerovy vektor, t.j. rychlost a potom aj zrychlenie. Dosad do toho determinantu a dostanes rovnicu $\ddot z\dot\varphi-\dot z\ddot\varphi=0$ a ta sa uz dopocita lahko - teda vlastne ta zaujima iba fazovy portret - dostanes $Az+B\varphi=C$ kde $A,B,C$ su konstanty. A to su geodetiky. Co su hlavne krivky neviem, lebo nepoznam definiciu.

PS: Ak poznas Christoffelove symboly a definiciu geodetiky cez ne, tak je to omnoho jednoduchsie.

mart1nka · 29. 05. 2014 14:29

↑ Brano: Děkuji za reakci, tak jsem to dělala pro krivku $x=a.cos\varphi(t), y=b.sin\varphi(t), z=z(t)$ , ale vyšla z toho strašná složitost... Ten tvůj válec není obecný, ale rotační, ne? Nebo myslíš, že to bylo myšleno jako rotační válec?

Brano · 29. 05. 2014 16:55

↑ mart1nka:
aha tak ja som najprv pod vseobecnym valcom pochopil valec s lubovolnym polomerom, ale moze to byt aj to ako to ty pises - mozem si to skusit preratat

len medzi casom, mali ste aj nejake vlastnosti/definiciu geodetiky, ktora je parametrizovana prirodzene? t.j. dlzkou?

totizto tento vztah [q', q'', N]=0 povoluje aj ine parametrizacie (len vzdy zachovava samotnu ciaru) a to je zbytocna komplikacia

Brano · 30. 05. 2014 11:01 — Editoval Brano (30. 05. 2014 11:02)

No tak som to nejak zratal, ale podarilo sa mi to cez Christoffelove symboly. Vyslo mi, ze bud

$\varphi = k$ alebo $z=pE(\varphi|1-a^2/b^2)+q$ kde $p,q,k$ su lubovolne konstanty a $a,b$ su polosi elipsy a
$E(\varphi|m)=\int_0^\varphi\sqrt{1-m\sin^2\phi}\,d\phi$
je elipticky integral druheho druhu s konvenciou znacenia ako ma Wolfram|Alpha (ta sa trosku lisi od tej co je na wikipedii).

Ale ak ste tie Ch. symboly nemali, tak skus napisat aka rovnica ti vysla z toho determinantu a a teraz ked uz viem riesenie, tak tam snad aj uvidim, ze ako to dosolichat.

Brano · 30. 05. 2014 12:08

OK tak cez ten determinant.

Takze pre $q=(a\cos\varphi(t),b\sin\varphi(t),z(t))$ mame $N=(b\cos\varphi,a\sin\varphi,0)$ a teda
$0=\det[N,\dot q,\ddot q] = (a^2\sin^2\varphi+b^2\cos^2\varphi)(\ddot z\dot\varphi-\dot z\ddot\varphi)-\dot z\dot\varphi^2(a^2-b^2)\sin\varphi\cos\varphi=$
$=f(\varphi)(\ddot z\dot\varphi-\dot z\ddot\varphi)-\frac{1}{2}f'(\varphi)\dot z\dot\varphi^2=(*)$
kde
$f(\varphi)=a^2\sin^2\varphi+b^2\cos^2\varphi>0$
urobme substituciu
$u=\dot z$ a $v=\sqrt{f}\dot\varphi$ cize $\sqrt{f}\dot v=f\ddot\varphi+\frac{1}{2}f'\dot\varphi^2$ takze
$(*)=\sqrt{f}(\dot u v-u\dot v)$ takze mame rovnicu
$\dot u v-u\dot v=0$ a staci nam fazovy portret (t.j. nezaujima nas parametrizacia) cize
$du\,v=u\,dv$ co upraceme a zintegrujeme a mame
$u=Av$ , kde $A$ je konstanta, alebo $v=0$ . Ta druha je lahka, z tej mame $\dot\varphi=0$ cize $\varphi=k$ . Ta prva prejde na
$\dot z=A\sqrt{f}\dot\varphi$ resp. $dz=A\sqrt{f}d\varphi$ . Staci si vsimnut, ze $\sqrt{f}=b\sqrt{1-(1-a^2/b^2)\sin^2\varphi}$ a mame, ze
$z=Ab\int\sqrt{1-(1-a^2/b^2)\sin^2\varphi}d\varphi=pE(\varphi|1-a^2/b^2)+q$ kde $p=Ab$ .

Brano · 30. 05. 2014 17:40 — Editoval Brano (30. 05. 2014 17:40)

Teraz ma este napadlo, ze to je vlastne komplikovane iba kvoli tomu, ze sme zvolili nevhodnu premennu. Totizto
$bE(\varphi|1-a^2/b^2)$ je dlzka elipsoveho obluka, ktory zodpoveda uhlu $\varphi$ (od polosi a).
Cize keby sme ako premennu pouzili $s$ dlzku obluka (v reze z=konst) namiesto uhla $\varphi$ tak by sme dostali

$z=As+B$ alebo $s=C$ a ked tak nad tym rozmyslam, to by malo platit uplne vseobecne aj keby ten kolmy rez nebola elipsa, ale uplne vseobecna jednoducha uzavreta krivka a mozno takto bol mysleny "vseobecny valec". Co ty na to?

mart1nka · 02. 06. 2014 16:23

↑ Brano: Promiň, ale vůbec se v tom neorientuju... Už v tom determinantu se ztrácím. Mám ho dobře? Jakým způsobem ho počítáš, že ti to tak hezky vyšlo? Ještě posílám pro inspiraci příklad z naší učebnice, kde se řeší ten rotační válec...
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-06/18699_DG.jpeg

Brano · 03. 06. 2014 16:29 — Editoval Brano (03. 06. 2014 16:36)

Jedna z podstatnych uloh pre teba, by malo byt zistit co sa naozaj mysli tou vseobecnou vlacovou plochou t.j. vyjadrit sa nejak k tomuto:

Brano napsal(a):
$z=As+B$ alebo $s=C$ a ked tak nad tym rozmyslam, to by malo platit uplne vseobecne aj keby ten kolmy rez nebola elipsa, ale uplne vseobecna jednoducha uzavreta krivka a mozno takto bol mysleny "vseobecny valec". Co ty na to?

a teda teraz k tomu eliptickemu prierezu - nemal by byt nejaky extra problem to dopocitat tak ako to je - aj tak je to uzitocne cvicenie. Takze podme na to:
mas tam nejake chybycky v tom determinante.
Prva vec, ze ze derivujes podla $t$ to znamena, ze sa ti tam nema preco objavovat nejake $t'$ ale na druhu stranu tam maz nejaku funkciu $\varphi(t)$ ktorej derivacie by sa ti tam mali objavovat a nie su tam (tipujem, ze sa jedna o nejaky prespekulovany preklep :)
takze ten determinant by mal vyzerat takto (ja ako derivaciu podla casu resp. $t$ davam bodku namiesto ciarky - zvyk z fyziky)
$\begin{bmatrix} -a\sin\varphi\dot\varphi & -a\cos\varphi\dot\varphi^2-a\sin\varphi\ddot\varphi & b\cos\varphi \\ b\cos\varphi\dot\varphi & -b\sin\varphi\dot\varphi^2+b\cos\varphi\ddot\varphi & a\sin\varphi \\ \dot z & \ddot z & 0 \end{bmatrix}$
a teraz mozes pouzit najlepsie rozvoj podla 3. riadka co by malo byt lepsie ako Sarusovo pravidlo, lebo z toho mas velku kopu clenov a nie je hned vidiet co s nimi, ale ked to robis rozvojom, tak by si mala hned vidiet ako to zjednodusovat.

mart1nka · 04. 06. 2014 09:49

↑ Brano: Díky, máš se mnou trpělivost :-) V tom determinantu už se orientuju, nevím, jak mě napadlo to divný řešení... Psala jsem přednášejícímu a napsal mi, že "u obecné válcové plochy uvažujeme obecnou křivku danou obecnou parametrizací Q(t). Tedy ta plochy by se dala napsat takto: P(t,v) = Q(t) + v . s, kde s je směrový vektor površek".

Brano · 04. 06. 2014 11:00 — Editoval Brano (07. 06. 2014 20:51)

↑ mart1nka:
OK takze teraz uz iba zobrat co sme sa naucili z kruznice a elipsy a zovseobecnit to. Ja si to oznacim takto.

Nech ten prierez je nejaka krivka parametrizovana takto $Q(k)=(x(k),y(k))$ - bez samopriesekov iba s podmienkou uzavretosti $Q(k_{max})=Q(0)$ . Vypocitajme si dlzku obluka od $k=0$ po $k=\overline k$ t.j. $s=f(\overline k)$ . To sa da integralom z $ds$ kde $ds^2=dx^2+dy^2$ . A teraz mozme reparametrizovat tu krivku pomocou jej dlzky, t.j. zoberme $k=f^{-1}(s)$ a teda mame $(x(f^{-1}(s)),y(f^{-1}(s)))$ co si mozme oznacit $(\overline x(s),\overline y(s))$ , ale od teraz dalej uz nebudem pouzivat $k$ ale $s$ , tak kvoli jednoduchosti to dalej znacme iba ako $Q(s)=(x(s),y(s))$ . Mozme uvazovat iba $s\in[0,s_{max}]$ ale vyhodnejsie je vnimat $Q(s)$ ako periodicku funkciu s periodou $s_{max}$ a definicnym oborom $R$ . Derivaciu $\frac{dg}{ds}$ budem znacit $g'$ . Lahko sa nahliadne, ze $x'^2+y'^2=1$ . Teda $Q(s)$ je jednotkovy smerovy vektor tej krivky. Ked tu rovnost este zderivujeme, tak dostaneme $x'x''+y'y''=0$ - to vyuzijeme neskor.

Cize akykolvek bod na povrchu valca mozme urcit dvoma parametrami $(s,z)$ - a jeho kartezske suradnice budu $(x(s),y(s),z)$ . Normalovy vektor v bode $(s,z)$ je teda $N(s,z)=(y',-x',0)$ . Teraz si vyberme lubovolnu krivku na valci. Da sa parametrizovat ako $(s(t),z(t))$ alebo kartezsky $q(t)=(x(s(t)),y(s(t)),z(t))$ . Derivaciu $\frac{dg}{dt}$ budem znacit $\dot g$ . Teda ak chceme aby to bola geodetika, tak musi platit
$0=\text{det}(N,\dot q,\ddot q)=\left|\begin{matrix}y' & x'\dot s & x''\dot s^2+x'\ddot s \\ -x' & y'\dot s & y''\dot s^2+y'\ddot s \\ 0 & \dot z & \ddot z\end{matrix}\right|=\ddot z\dot s \underbrace{(x'^2+y'^2)}_1-\dot z\ddot s \underbrace{(x'^2+y'^2)}_1-\dot z\dot s^2 \underbrace{(x'x''+y'y'')}_0=\ddot z\dot s-\dot z\ddot s$
A tu rovnicu sme uz riesili. Riesenia su $s=C$ alebo $z=As+B$ , kde $A,B,C$ su konstanty. Co je aj ocakavane riesenie, lebo to znamena, ze keby sme tu valcovu plochu rozstrihli, tak sa da vystriet rovno na stol a vyslo nam, ze geodetiky su priamky.

mart1nka · 07. 06. 2014 10:07

↑ Brano: Díky, takže jestli si to umím dobře představit, geodetika je buď s = C, tzn. křivka podél "obvodu" té válcové plochy rovnoběžná s podstavou a nebo z = As+B, tzn. "spirálovitá" křivka podél "obvodu" válcové plochy? Ještě mi prosím pověz, proč je $N(s,z)=(y',x',0)$ a v determinantu je $N(s,z)=(y',-x',0)$ ... No a ohledně těch hlavních křivek platí věta, že je-li geodetická křivka rovinná (ale není přímkou), pak je hlavní křivkou. Takže by to měla být ta geodetika s = C, jestli dobře chápu, co je rovinná křivka. Co myslíš?

mart1nka · 07. 06. 2014 10:20

↑ Brano: Ještě obrázek, jak si ty geodetiky (možná špatně) představuju...
No a ty dole by mohly být i hlavními přímkami, protože lze jimi udělat řez, ne?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-06/29147_geodetiky.jpeg

Brano · 07. 06. 2014 20:50 — Editoval Brano (07. 06. 2014 20:52)

↑ mart1nka:
to bol preklep plati
$N(s,z)=(y',-x',0)$
opravil som to aj v postupe

$s=C$ nie je krivka po obvode ale zvisla priamka; ciara po obvode je $z=B$ . ten tvoj obrazok je v podstate dobre len ako som povedal temn specialny priklad co tam uvadzas je $z=B$ .

Co sa tyka tych hlavnych kriviek, tak najlepsie ak napises definiciu a nebudeme musiet hadat.

mart1nka · 07. 06. 2014 20:59

↑ Brano: Definici máme následující: Křivka plochy je hlavní křivkou, je-li její tečna v každém bodě
určena hlavním směrem. Směr plochy je hlavní, je-li normálová křivost v něm extrémní (maximální, resp. minimální). A tu $z=As+B$ jsem nakreslila dobře?

Brano · 08. 06. 2014 00:45

mart1nka napsal(a):
A tu $z=As+B$ jsem nakreslila dobře?

ano

mart1nka napsal(a):
Směr plochy je hlavní, je-li normálová křivost v něm extrémní (maximální, resp. minimální).

dalsi problem je co je to normalova krivost :) ale ak som si to domyslel spravne, tak hlavne by potom mali byt krivky $s=C$ a $z=B$

mart1nka · 08. 06. 2014 09:30

↑ Brano: No podle té věty "je-li geodetická křivka rovinná (ale není přímkou), pak je hlavní křivkou" by to asi měla být jen ta z = B, protože s = C je přímka, ne?
Normálovou křivostí křivky k v bodě X rozumíme číslo $k_n = P''.n$ .

Brano · 08. 06. 2014 21:52 — Editoval Brano (08. 06. 2014 21:53)

↑ mart1nka:
ved to sa mi nejak nepozdava, pripadne napis co je normalova krivost trosku podrobnejsie ... (co je P co je n ?)
ja som totiz klasicku diferencialnu geometriu nemal (iba taku tu modernu abstraktnu) takze mnohe pojmy nepoznam, co je skoda :(

alebo ak mate nejake skripta na nete tak daj odkaz

Brano · 08. 06. 2014 22:01 — Editoval Brano (08. 06. 2014 22:02)

↑ mart1nka:
a este podstatne je to, ze ta veta hovori, ze ak je nejaka krivka rovinna ale nie je priamka, tak uz je nutne hlavna, ale vobec nic nehovori o opacnom smere - t.j. ze ak je to priamka tak moze, ale nemusi byt hlavna. (doraz je teraz na tom moze)

mart1nka · 09. 06. 2014 08:53

↑ Brano: P'' bude druhá derivace té křivky a n normálový vektor... Skripta jsou tady: http://geometrie.kma.zcu.cz/index.php/w … w/full/68/ pod názvem "Učební text - záznam přednášky", toto téma začíná na str. 52.

Brano · 10. 06. 2014 12:19 — Editoval Brano (10. 06. 2014 19:09)

dobre, takze z toho co som vycital trvam na tom co som hovoril.

oznacme si parameter dlzky ako $l$ lebo $s$ uz pouzivame na nieco ine; potom $dl^2=dx^2+dy^2+dz^2$ avsak mame definovane $ds^2=dx^2+dy^2$ cize $dl^2=ds^2+dz^2$ .

Teraz nech $q=(x(s(l)),y(s(l)),z(l))$ predstavuje parametrizaciu geodetiky dlzkou. Derivaciu podla $l$ znova oznacujme bodkou a podla $s$ ciarkou.

Cize chceme
$\ddot q\cdot N = (x''\dot s^2+x'\ddot s,y''\dot s^2+y'\ddot s,\ddot z)\cdot (y',-x',0)=\dot s^2\underbrace{(x''y'-x'y'')}_{\text{def. }=f(s)}=f(s)\frac{ds^2}{dl^2}=f(s)\frac{ds^2}{ds^2+dz^2}$
$f(s)$ zavisi iba od polohy to znamena, ze pre rozne krivky sa snazime hladat extremy vyrazu $g=\frac{ds^2}{ds^2+dz^2}$ . Vsimnime si, ze $1\ge g\ge 0$

Prva trieda geodetik je $s=C$ a teda $ds=0$ a teda $g=\frac{0}{dz^2}=0$ cize sa jedna urcite o extrem (minimum).
Druha trieda geodetik je $z=As+B$ a teda $dz=Ads$ cize $g=\frac{1}{1+A^2}$ co nadobuda extrem (maximum) iba pre $A=0$ . Takze hlavne geodetiky su $s=C$ a $z=B$ .

mart1nka · 10. 06. 2014 18:53

↑ Brano: Díky, ale neměla by ta $\ddot q$ v první a druhé složce místo $\dot s$ mít $\ddot s$ ? Takto: $\ddot q\cdot N = (x''\dot s^2+x'\ddot s,y''\dot s^2+y'\ddot s,\ddot z)\cdot (y',-x',0)$ . Ono to stejně vypadne, ale pro jistotu... No jinak moc děkuji, to řešení vypadá elegantně a pochopitelně :-)

Brano · 10. 06. 2014 19:08

Ano, tak ako pises - kvoli uplnosti to opravim - rozdiel je tam \dot a \ddot a to sa lahko prehliadne :-)

mart1nka · 10. 06. 2014 19:10

Ještě jednou díky a hezký večer! :-)

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2014 14:58

Diferenciální geometrie - geodetiky

#2 27. 05. 2014 22:58 — Editoval Brano (27. 05. 2014 23:19)

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#3 29. 05. 2014 14:29

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#4 29. 05. 2014 16:55

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#5 30. 05. 2014 11:01 — Editoval Brano (30. 05. 2014 11:02)

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#6 30. 05. 2014 12:08

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#7 30. 05. 2014 17:40 — Editoval Brano (30. 05. 2014 17:40)

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#8 02. 06. 2014 16:23

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#9 03. 06. 2014 16:29 — Editoval Brano (03. 06. 2014 16:36)

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

Brano napsal(a):

#10 04. 06. 2014 09:49

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#11 04. 06. 2014 11:00 — Editoval Brano (07. 06. 2014 20:51)

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#12 07. 06. 2014 10:07

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#13 07. 06. 2014 10:20

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#14 07. 06. 2014 20:50 — Editoval Brano (07. 06. 2014 20:52)

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#15 07. 06. 2014 20:59

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#16 08. 06. 2014 00:45

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

mart1nka napsal(a):

mart1nka napsal(a):

#17 08. 06. 2014 09:30

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#18 08. 06. 2014 21:52 — Editoval Brano (08. 06. 2014 21:53)

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#19 08. 06. 2014 22:01 — Editoval Brano (08. 06. 2014 22:02)

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#20 09. 06. 2014 08:53

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#21 10. 06. 2014 12:19 — Editoval Brano (10. 06. 2014 19:09)

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#22 10. 06. 2014 18:53

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#23 10. 06. 2014 19:08

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

#24 10. 06. 2014 19:10

Re: Diferenciální geometrie - geodetiky

Zápatí