Matematické Fórum

pema01 · 28. 05. 2014 20:14

ahoj, mám problém u jednoho příkladu, který se větví na pár dalších, ale zejména mám problém konkrétně v tomto:

Určete $n\in N$ tak, aby pro binomická rozvoj $(1+x)^{n}$ platilo:
c) poměr koeficientů u 4. členu a 3. členu je 8:3

Myslím že postupuji správně, nicméně nemohu stále dojít k uspokojivému výsledku (10).

$\frac{n\choose 3}{n\choose2}=\frac{8}{3}$
dále upravuji až dostanu rovnici: $\frac{1}{3(n-3)}=\frac{8}{3}$ a z toho -> $8n=25$ ale to není kýžená 10. Kde je chyba? Nemá postup ještě pokračování?

vím jak tyto úlohy počítat, ale výsledek mi ani u jedné dnes nevyšel... např.: ani u zadání: součet koeficientů u druhého a třetího členu je 55; nebo u příkladu: koeficient u 3. členu je 2,5krát větší než koef u 6. členu atd. Je divné, že mi to prostě nevychází...
Děkuji

gadgetka

Ahoj, ze zadání a z definice binomické věty plyne:
$4.\enspace \text{člen}\Rightarrow k=3$
$3.\enspace \text{člen}\Rightarrow k=2$

${n\choose 3}1^{n-3}\cdot x^3$
${n\choose 2}1^{n-2}\cdot x^2$

Když se na ty zápisy podíváš, tak je jasné, že koeficientem bude u obou členů kombinační číslo, a ty o nich víš, že jsou v poměru 8:3

$\frac{{n\choose 3}}{{n\choose 2}}=\frac 83$
Po úpravě dostáváš:
$\frac{n-2}{3}=\frac 83$
...a to tu 10 dá určitě. :)

gadgetka

P.S. Teď mi došlo, že chybu jsi udělal jen v úpravě kombinačních čísel, viď? Tak pomalu:
$\frac{{n\choose 3}}{{n\choose 2}}=\frac 83$
$\frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}{\frac{n(n-1)}{2}}=\frac 83$

A zbytek už určitě dořešíš sám... :)

pema01 · 28. 05. 2014 20:37

↑ gadgetka:

tak se dnes opravdu ukázalo, že je chyba mezi PC a židlí. Já jsem totiž (n-2)! a (n-3)! vyjádřil jako: (n-2)! a (n-2)!*(n-3), jinými slovy jsem s těmi faktoriály v závorkách zacházel jako kdyby tam byly všude místo "-" "+" :) Zkusím vše přepočítat, snad bude fungovat.

Matematické Fórum

#1 28. 05. 2014 20:14

Binomická věta

#2 28. 05. 2014 20:31 — Editoval gadgetka (28. 05. 2014 20:32)

Re: Binomická věta

#3 28. 05. 2014 20:35 — Editoval gadgetka (28. 05. 2014 20:36)

Re: Binomická věta

#4 28. 05. 2014 20:37

Re: Binomická věta

Zápatí