Matematické Fórum

Sajmon9114 · 31. 05. 2014 10:48

Ahoj, měl bych dotaz spíše technického rázu, týkající se kvalitativní analýzy řešení autonomních diferenciálních rovnic v podobě $y'=g(y)$ . Na přednášce jsme měli větu, která říkala, že pokud u nějakého vlastního bodu $b$ (který je typicky stacionárním řešením $y\equiv b$ ) konverguje integrál $\int_{b}^{b+\varepsilon }\frac{1}{g(y)}$ (nebo případně $\int_{b-\varepsilon }^{b}\frac{1}{g(y)}$ ), pak řešení s hodnotami v intervalu $(b,b+\varepsilon )$ nebo $(b-\varepsilon ,b )$ je definováno jen na intervalu typu $(B,+\infty )$ apod., kde $B\in \mathbb{R}$ . Myslel jsem si, že tedy stačí ověřit, zda daný integrál konverguje a zda platí $\lim_{y\to\pm b}g(y)=0$ , a pokud ano, pak můžu říct, že se dané řešení napojí na stacionární v nějakém konečném čase. Nevím ale, zda je tato myšlenka ekvivaletní s formulací oné věty. Dám příklad: $g(y)=\frac{\left(e^{y-1}-1\right) \sqrt[3]{1-y^2}}{y}$ a řeším chování dejme tomu pro interval hodnot $(-1,0)$ . Pak mi vyjde, že integrál z $\frac{1}{g(y)}$ u bodu $-1$ konverguje (srovnal jsem s $\frac{1}{\sqrt[3]{y+1}}$ ) a u nuly také, tam nicméně jde $g(y)$ do $+\infty$ , tedy řešení skončí v nějakém vlastním bodě. Konečně příchází jádro problému: řešení s hodnotami v daném intervalu jsou rostoucí a definována na intervalu typu $(A,B),A,B\in \mathbb{R}$ - mohu ale říct, že se řešení napojí na stacionární y $y\equiv -1$ ? Nebylo by pak takové řešení definováno na $(-\infty ,B)$ ? Děkuji.

jelena · 01. 06. 2014 11:39

Zdravím,

přesouvala jsem téma do pokročilejší matematiky, jelikož považuji, že by zasluhovalo podrobnější rozbor (teoretický) od kolegů.

Zatím mé poznámky:

tedy stačí ověřit, zda daný integrál konverguje a zda platí $\lim_{y\to\pm b}g(y)=0$ ,

to "zdá platí..." nemusí odvozovat, že integrál konverguje - tak?

a u nuly také

u nuly není "problém" pro integrál $\int\frac{1}{g(y)}\d y$ (ani vlivem funkce, ani vlivem meze) - tak? Ale snad je obsazeno v komentáři "tedy řešení skončí v nějakém vlastním bodě" a další. Nevím, zda nezameňuješ limitu funkce $1/g(y)$ a konvergenci integrálu $\int\frac{1}{g(y)}\d y$ .

Kolegové od vás tento problém diskutovali, v tématu jsou i odkazy na Váše materiály, kapitola 6. Bohužel, není vidět, kterou úlohu konzultovali, tipuji, že číslo 3.

Děkuji kolegům, kdo se na téma podívá.

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2014 10:48

Autonomní diferenciální rovnice

#2 01. 06. 2014 11:39

Re: Autonomní diferenciální rovnice

Zápatí