Matematické Fórum

Tomas5 · 01. 06. 2014 19:09

Dobrý den,
nemůžu přijít na tento jednoduchý problém:
Mám ověřit, jestli platí rovnost $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} =1$ . Nevím jak se zbavit těch třetích odmocnin. Podle počítače uvedená rovnost neplatí, ale platit by měla, protože je to kořen rovnice, což neumím dokázat.
Děkuji za pomoc.

byk7 · 01. 06. 2014 19:33

označme
$a=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}},\,b=\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$
pokud platí
$a+b=1$
pak platí i
$a^3+b^3+3ab(a+b)=1$
zřejmě je
$a^3+b^3=4$ ,
takže stačí dokázat, že
$3ab(a+b)=-3$ ,
tj.
$ab(a+b)=-1$ ,
pokud ukážeme, že
$ab=-1$ ,
pak už nutně bude muset být
$a+b=1$ ,
ale
$ab=\sqrt[3]{$2+\sqrt5$$2-\sqrt5$}=\sqrt[3]{4-5}=\sqrt[3]{-1}=-1$ ,
takže jsme hotovi

Bati · 01. 06. 2014 19:37

Ahoj,
označím-li ten výraz X, umocněním získám rovnost $X^3=4-3X$ . Snadno se lze přesvědčit, že tato rovnice má jediný reálný kořen, a to 1. Tím je to ověřeno.

byk7 · 01. 06. 2014 19:45

ještě jedna možnost tu je,
když ukážeš, že
$\sqrt[3]{2\pm\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}\pm1}{2}$
tak pak to bude jasné :)

Tomas5 · 01. 06. 2014 21:20

↑ byk7:↑ Bati:
Pěkný postup, děkuji.

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2014 19:09

platnost rovnosti při řešení rovnice

#2 01. 06. 2014 19:33

Re: platnost rovnosti při řešení rovnice

#3 01. 06. 2014 19:37

Re: platnost rovnosti při řešení rovnice

#4 01. 06. 2014 19:45

Re: platnost rovnosti při řešení rovnice

#5 01. 06. 2014 21:20

Re: platnost rovnosti při řešení rovnice

Zápatí