Matematické Fórum

marketka01

Ahoj, jak prosim prijdu na tu univerzalni formuli?? Uz me nic nenapada :/

Najdete vytvorující funkci a explicitní vyjádrení pro n-tý clen
posloupnosti { $a_{n}$ } definované rekurentním vztahem:

$a_{0} = 1; a_{1} = 2$
$a_{n} = 4 a_{n-1} - 3 a_{n-2} + 1$ pro $n\ge 2$

--------------------
V reseni je uvedeno, ze nejdrive vytvorim univerzalni formuli platnou pro vsechna n nalezici do Z takto:

$a_{n} = 4 a_{n-1} - 3 a_{n-2} + 1 - 3 [n=1]$

Tohle nechapu - jak prosim dojdu k tomu vyjadreni "-3" a co ma znamenat to n=1 v hranate zavorce???
Moc dekuju za odpovedi :)

marketka01

Podobne zde:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/41939_ddd.jpg

Opet neutusim jak se prislo na ten tvar UNIVERZALNI FORMULE :/

vanok · 24. 05. 2014 17:56 — Editoval vanok (24. 05. 2014 20:15)

Ahoj ↑ marketka01:,
Tvoje oznacenia nepoznam, ale iste to mas vysvetlene v skriptach.
Tvoj ciel je nast vytvorucuju ( generacnu) funkciu, ktorej koeficient pri $x^n$ je $a_n$ .
ja take riesim takto
Cize $A(x^n)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
Napr v tvojom riesenom priklade mas preto
$A(x)=a_0+a_1x+\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}x^{n+2}=\\ a_0+a_1x+\sum_{n=0}^{\infty}(5a_{n+1}-4a_n)x^{n+2}=\\ a_0+a_1x+5x\sum_{n=0}^{\infty}(a_{n+1}x^{n+1}-4x^2\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^na_n)=\\ a_0+a_1x+5x(A(x)-a_0)-4x^2 A(x)$
To da
$A(x)=a_0+a_1x+5x(A(x)-a_0)-4x^2 A(x)$
Z toho to vyjadri $A(x)$
À dostanes to iste ako vo vzorovom rieseni. ( nahrad $a_0,a_1$ )

Brano · 24. 05. 2014 18:10

ak som to spravne pochopil tak $[n=k]$ znamena funkciu s premennou n, ktora je =1 ak plati n=k a inak je =0.

tie vyrazy tam pridas tak, aby ti platila ta rovnica aj pre $n=0,1$ pricom pouzijes znalost $a_0,a_1$ a este predpoklad, ze $a_k=0$ pre $k<0$ . T.j. pridas tam vyraz $A[n=1]+B[n=0]$ kde $A,B$ su neurcite konstanty, ktore sa snazis nastavit tak, aby ti platili zaciatocne podmienky.

marketka01

Diky pomohli jste mi, ted uz resim konkretni priklady, vsechno mi vychazi, jen na konci se muj vysledek lehce lisi od toho v klíči...
Snazim se to ruzne upravit aby to sedelo podle reseni, ale nejde mi to... :/ Nevite v cem je problem??
Nebo je mozne i to moje reseni? To se mi nezda ze by mohlo byt odlisne podle toho, jaky pouzivam postup

Funkce A(x) mi vysla v pohode, jen pak nesedi to JEJICH rozlozeni:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-06/17696_1.jpg

ja tu funkci rozlozila ale takhle:
$A(x)=\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{1-x} - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2+x} = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{1-x} - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}2{x}}$

Kam se jim vytratila ta jedna polovina?? :/

A dal maji jako reseni pro n-ty clen uvedeno:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-06/18014_2.jpg

Zatimco mne vyslo:

$x_n{}=\frac{7}{3}-\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{2})^{n}$

vanok · 02. 06. 2014 16:33

Tvoj rozklad je dobry! V texte co dali je chyba.
Inac 1/(1-x)= ( formalne)
1+x+x^2+x^3+...

marketka01 · 02. 06. 2014 16:45

↑ vanok:
Super diky moc! :)

marketka01

A maji teda chybu i v tomto??

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-06/20483_1.jpg

mne to vyslo takto:

$\frac{2^{n+2}}{3} + \frac{5}{3} \cdot (-1)^{n}$

mozna bych jeste mela dat k dizpozici cele zadani...mozna mi to nevychazi kvuli podminkam v zadani..?

Brano · 02. 06. 2014 17:31

ked napises iba A(x) a nie cele zadanie tak je to tazko skontrolovat totizto oba rozdiely sa daju vysvetlit posunom $n=k+1$ co by mohol byt mierny rozdiel v definicii vytvarajucej funkcie - v pripade ze pocitas priklady z inej knihy ako si mala teoriu

marketka01 · 02. 06. 2014 17:41

↑ Brano:

ano uz jsem to doplnila, moje chyba :)

marketka01

Takze ja asi radeji napisu, jak jsem se k tomu vysledku dostala:
Mam zadani:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-06/87033_1.jpg

tohle si upravim tak, aby mi vysel vzorec pro n-ty clen:
$x_{n}=x_{n-1}+2x_{n-2}$
dale potrebuju, aby to platilo pro vsechna $\mathbb{N}_{0}$ , proto dopocitam:
$x_{n}=x_{n-1}+2x_{n-2} + A[n=0] + B[n=1]$

ty podminky v zadani si pro vypocet koeficientu A a B predelam tak, ze n=1 beru jako n=0 a n=2 ze zadani beru jako n=1
Tzn.: pro n=0 to je:
3 = 0 + 0 +A
3=A
a pro B to pak vyjde B=-2

Vyjde mi tedy rovnice:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-06/87409_2.jpg

POTUD TO MAM EVIDENTNE DOBRE, TAKHLE TO JE I V RESENI.
Dale mi ale nesedi uprava pro ten n-ty clen
Jako SPRAVNE RESENI UVADEJI TOHLE:

Mne ale vychazi TOHLE:
$\frac{2^{n+2}}{3}+\frac{5}{3}\cdot (-1)^{n}$

Jsem z toho jelen :/

vanok · 03. 06. 2014 11:45

↑ marketka01:,
Na overenie staci urobit skusku.
Ak n=1, tvoj vysledok da... ,ich...., n= 2,da.....
A potom posud ktory je spravny

marketka01

↑ vanok:
Tak jsem si to overovala a opravdu to jejich reseni vychazi spravne...

Takze uz to snad chapu - od toho "n+2" odectu jednicku a jednicku odectu i od toho (-1)^n kvuli tomu, ze jsem prevedla to n=1 z podminky v zadani na n=0 , ze?

takze ten SPRAVNY vzorecek se da brat take jako tohle a melo by to byt taky dobre:

$x_{n}=\frac{2^{n+1}}{3}+\frac{5}{3}\cdot (-1)^{n-1}$

Mam pravdu?? Radeji se ujistuju, ale vysledky mi vychazi stejne jako v tom jejich reseni takze by to snad mohlo byt i takto :)

Brano · 03. 06. 2014 13:59

↑ marketka01:
ved ty si to nemusela posuvat aby si to mala pre cele $N_0$ mozes to pokojne pocitat podla zadania t.j. tu upravenu rovnicu by si mala

$x_{n}=x_{n-1}+2x_{n-2} + 3[n=1] -2 [n=2]$ aby prve dva cleny boli $x_1,x_2$ ako v zadani a nie $x_0,x_1$ len potom pri spatnum prevode z A na postupnost si treba davat pozor, ze ktory clen ma aky index alebo inymi slovami ci je to (nulty, prvy, druhy, ...) alebo (prvy, druhy, treti, ...)

marketka01

DIky, moc jste mi pomohli. Uz mi neni jen uplne jasna posledni vec - tento priklad.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-06/06086_d.jpg

Konkretne v tom cervenem krouzku - vychazi mi to $\frac{1-3x}{(1-x)(1-3x)}$

oni tam jak vidim pridali jeste tohle: $\frac{3x^{2}}{1-x}$
ale proc??
Mozna aby se vyraz 1-3x nevykratil? Ale proc tam pridali zrovna tyto dva vyrazy?

marketka01

Nevite teda? :/
Zkousela jsem to zas ruzne dosazovat,ale marne

Brano · 04. 06. 2014 11:14

mas $a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}+1-3[n=1]$ teda
$A=4xA-3x^2A+\frac{1}{1-x}-3x$ cize
$A(1-4x+3x^2)=\frac{1-3x+3x^2}{1-x}$ z coho dostanes
$A=\frac{(1-3x+3x^2)}{(1-x)^2(1-3x)}$

vanok · 04. 06. 2014 11:33 — Editoval vanok (04. 06. 2014 14:05)

.
Édit : tu bolo chybne riesenie, tak som ho radcej zmazal aby sa niekto z tym nepomylil. Dakujem Branovy.

Brano · 04. 06. 2014 12:20

tam ide len o to, ze sa povie, ze $a_k=0$ pre $k<0$ a zvysne cleny podla zadania. Potom sa napise rovnica, ktora je platna pre vsetky $n\ge 0$ a nie len $n\ge 2$ . A polozi sa $A=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$

(teda ak som tam nieco nepobabral :)

vanok · 04. 06. 2014 12:25

Brano.
To co pises je aj v mojoml rieseni.
Preto v nom mam A(x)-1, ako aj A(x)-1-2x.
ale mne to neda -3x.

Brano · 04. 06. 2014 12:46 — Editoval Brano (04. 06. 2014 12:47)

ak mas
$A=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$
tak potom
$A=a_0+a_1x+a_2x^2+...=1+2x+a_2x^2+...$ a teda $A-1=a_1x+a_2x^2+...$ a teda
$4x(A-1)=4a_1 x^2+4a_2 x^3+...$
podobne druhy clen ti zacina $-3a_2x^4+...$
a vlavo ti rozvoj zacina $a_0+a_1x+a_2x^2+...$ takze este asi treba dorobit nejake korekcie na prve cleny

vanok · 04. 06. 2014 12:53

Ano, zda sa mi, ze prave to som robil tu ↑ vanok:.alebo sa myslim?

Brano · 04. 06. 2014 12:53

kebyze v tomto
$a_nx^n=4xa_{n-1}x^{n-1}-3 x^2a_{n-2}x^{n-2}+x^n$
robis sumu od n=2 tak ako ten vyraz aj plati, tak dostanes
$A-1-2x=4x(A-1)-3x^2A+\frac{x^2}{1-x}$
co uz je to iste ako mam ja

vanok · 04. 06. 2014 12:57

Ano to rozumiem.
Ale co je chybne v mojom postupe.

Brano · 04. 06. 2014 13:07 — Editoval Brano (04. 06. 2014 13:23)

a ako si vlastne dostal z tohoto
$a_nx^n=4xa_{n-1}x^{n-1}-3 x^2a_{n-2}x^{n-2}+x^n$
toto
$A(x)=4x(A(x)-1)-3x^2(A(x)-1-2x)+\frac1{1-x}$
ak to mala byt suma od n=0 tak to proste neplati - nesedia ti prve cleny co si mozes overit tym, ze si ich par vypises
nehovoriac o tom, ze samotna prva rovnica neplati pre n=1

ak to malo byt nejak inak, tak napis ako.

ale v skutocnosti si myslim, ze si myslel tento ↑ Brano: postup, len si si tam omylom prehodil to ze v ktorom clene sa ma robit ktora korekcia - cele to mohlo vzniknut tym, ze si mozno zvyknuty pracovat s rovnicami v takejto forme
$a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}+1$ a nie v takejto
$a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}+1$

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2014 16:24 — Editoval marketka01 (24. 05. 2014 16:30)

Vytvorujici funkce a REKURENCE

#2 24. 05. 2014 16:32 — Editoval marketka01 (24. 05. 2014 16:37)

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#3 24. 05. 2014 17:56 — Editoval vanok (24. 05. 2014 20:15)

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#4 24. 05. 2014 18:10

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#5 02. 06. 2014 16:09 — Editoval marketka01 (02. 06. 2014 16:10)

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#6 02. 06. 2014 16:33

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#7 02. 06. 2014 16:45

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#8 02. 06. 2014 16:49 — Editoval marketka01 (02. 06. 2014 17:31)

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#9 02. 06. 2014 17:31

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#10 02. 06. 2014 17:41

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#11 03. 06. 2014 11:28 — Editoval marketka01 (03. 06. 2014 11:28)

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#12 03. 06. 2014 11:45

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#13 03. 06. 2014 12:42 — Editoval marketka01 (03. 06. 2014 12:44)

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#14 03. 06. 2014 13:59

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#15 03. 06. 2014 16:38 — Editoval marketka01 (03. 06. 2014 16:41)

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#16 04. 06. 2014 10:12 — Editoval marketka01 (04. 06. 2014 10:15)

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#17 04. 06. 2014 11:14

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#18 04. 06. 2014 11:33 — Editoval vanok (04. 06. 2014 14:05)

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#19 04. 06. 2014 12:20

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#20 04. 06. 2014 12:25

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#21 04. 06. 2014 12:46 — Editoval Brano (04. 06. 2014 12:47)

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#22 04. 06. 2014 12:53

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#23 04. 06. 2014 12:53

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#24 04. 06. 2014 12:57

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

#25 04. 06. 2014 13:07 — Editoval Brano (04. 06. 2014 13:23)

Re: Vytvorujici funkce a REKURENCE

Zápatí