Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Dobrý den všem!
Před ústředním kolem MO jsem se dnes trochu díval na nerovnosti, protože se mi oproti geometrii toto téma opravdu hodně líbí. Zkoušel jsem využívat Jensenovu nerovnost pomocí které jsem odvodil další nerovnosti. Tyto dvě nerovnosti zde napíšu. A protože si nejsem jistý, jestli jsem po cestě neudělal chybu, bude zadání následující:
Dokažte následující nerovnosti pro kladná , , , nebo nalezněte alespoň jednu trojici kdy nerovnost neplatí
1) -> ideálně bez roznásobování závorek
2)
nebo ekvivalentní nerovnost
Jestli tyto nerovnosti platí, pak bych byl vděčný za nějaký "návod" jak se podobné nerovnosti dokazují. Já kdybych si je neodvodil tak asi moc nevím. Opravdu netuším, jak bych postupoval. V druhé nerovnosti bych možná položil a první bych zkusil roznásobit... Což však podle mě k ničemu nevede.
edit: Druhá z nerovností poté co jsem napsal její změněnou podobu vypadá že by šla celkem dobře dokázat za pomoci permutační nerovnosti. To mě teď napadlo. U te první mě ale pořád nic nenapadá.
Moje odvození:
Offline
Zdravím, zde nabídnu dva důkazy první nerovnosti
Offline
↑ nikoma:
Pěkné. Jen ještě ukážu nerovnost, jejíž speciálním případem je tato nerovnost. Pro kladná platí nerovnost
Volbou , , získáme tu nerovnost. Sem jsem ji napsal jestli si dobře vzpomínám krátce poté co jsem tento obecný tvar odvodil. Nenapadlo mě nic lepšího než dosadit za . Myslím si, že jiným dosazením by šlo získat pěknější nerovnosti. Mimochodem podobná nerovnost kterou jsem dokázal je (zase stačí roznásobit)
-> ta lze využít u nerovnosti kterou jsem tu nedávno napsal.
pro připomenutí ji sem napíšu:
Offline
↑ liamlim:
To je pěkná nerovnost, docela mě překvapilo, že se jedná o přímý důsledek Hölderovy nerovnosti, protože podle Hölderovy nerovnosti platí
Analogicky jde odvodit i ta druhá nerovnost ve čtyrech proměnných.
EDIT: Ať to tu zbytečně nespamuju novým příspěvkem, tak jen dodám, že i ta obecná nerovnost pro proměnných plyne obdobně z Hölderovy nerovnosti.
Offline
↑ nikoma:
Ono jde ukázat že platí
tak
Ale už pro nevypadá nerovnost vůbec hezky
Edit.: důkaz jsem dělal pomocí Jensenovy nerovnosti
Edit2: A ten důkaz není ani nijak zajimavy. Jedna se o stejny dukaz jako dukaz AG nerovnosti. Akorat s jinymi koeficienty. Pokud dosadíte pak dostanete AG...
Offline
liamlim napsal(a):
Dokažte následující nerovnosti pro kladná , , , nebo nalezněte alespoň jednu trojici kdy nerovnost neplatí
1) -> ideálně bez roznásobování závorek
Zdravím, podařilo se mi odvodit a dokázat silnější verzi této nerovnosti:
Dokažte, že pro kladná platí
Offline