Matematické Fórum

Spalker · 02. 06. 2014 18:13

Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_{4}(8-|x-3|) < 1$ je rovna množině:

a) (-5,-1) u (7,11)
b) (-5, -1)
c) (-5, -1)
d) (-1, 7)
e)Žádné z uvedených.

Převedl jsem si jedničku na logaritmus o stejném základu, odstranil logaritmy a skončil jsem u tohoto kroku: $(8-|x-3|) < 4$

Mohl byste mi někdo prosím Vás ukázat postup, jak vypočíst tento příklad? Nevím co s tou osmičkou a absolutní hodnotou.. :/ A tak nějak celkově jsem ze zadrhl..

Děkuji.

gadgetka

Ahoj, můžeš postupovat např. podle definice absolutní hodnoty. Nulový bod rozdělí číselnou osu na dva intervaly, pro které budeš danou nerovnici řešit.
$1)\enspace x\in (-\infty; 3\rangle$
$8-(3-x)<4$

Výslednou množinu "pronikneš" s definovanou množinou.
Stejně tak u druhé nerovnice.

$2)\enspace x\in \langle 3; \infty)$
$8-(x-3)<4$

Mezi oběma výsledky uděláš sjednocení.

Edit: A ještě nezapomeň na definiční obor logaritmu, s kterým musíš též výsledek proniknout. :)

Spalker · 02. 06. 2014 18:34

Můžu se zeptat jak jste přišla na $1)\enspace x\in (-\infty; 3\rangle$ / $2)\enspace x\in \langle 3; \infty)$ ? Z čeho mám vycházet? A proč je u trojky uzavřený interval a né otevřený? :)

misaH · 02. 06. 2014 18:57

↑ Spalker:

V čísle 3 sa mení znamienko čísla v absolútnej hodnote.

Ak x = 3, absolútna hodnota je 0.

gadgetka

Nulovým bodem absolutní hodnoty je trojka. Ta rozdělí osu na dva intervaly, jak už jsem psala, pro které budeš nerovnici počítat. Z každého intervalu si dosadíš libovolný bod do absolutní hodnoty, abys věděl, jestli se v tom daném intervalu chová absolutní hodnota kladně nebo záporně. Z definice absolutní hodnoty vyplývá, je-li $a\ge 0$ , pak $|a|=a$ ; je-li $a<0$ , pak $|a|=-a$ .
Když dosadíš z prvního intervalu např. 0, absolutní hodnota po dosazení se chová záporně, proto $|x-3|=-(x-3)=3-x$ .

Na ty uzavřené nebo otevřené intervaly tu před nedávnem byla pěkná diskuze, každého ve škole učili něco jiného. Pokud by ti toto nevyhovovalo, stačí postupovat stylem řešení dvou nerovnic v každém kroku, a to sice:
$x-3\ge 0 \wedge 8-(x-3)<4$
$x-3<0 \wedge 8-(3-x)<4$

a máš po starostech, jakou závorku použít u definovaných intervalů. Z těchto nerovnic je to víc než zřejmé. :)

bonifax · 02. 06. 2014 20:23

↑ misaH:

postup od ↑ gadgetky: je super, nebo lze řešit taky geometricky:

$8-|x-3| < 4$
$|x-3| > 4$ - Hledáme číslo, které má od trojky vzdálenost větší než 4.

$8-|x-3|>0$
$|x-3|<8$ - Hledáme číslo, které má od trojky vzdálenost menší než 8

Udělat průnik a je to.

Spalker · 03. 06. 2014 19:41

↑ bonifax:

Děkuju, děkuju a ještě jednou děkuju za vysvobození.. :D Včera už jsem radši nechtěl nic psát a vzdal to, protože nás to ve škole učili právě geometricky (Nevěděl jsem jak se tahle metoda nazývá jinak bych samozřejmě poprosil o vysvětlení přímo pomocí této metody) a tomu co psala gadgetka jsem vůbec nerozuměl.. Samozřejmě to psala správně (asi) :D ale absolutně jsem nevěděl jak k čemu přišla.. :)

Jinak bych měl ještě menší dotaz než to označím za vyřešené.. Když mám zadaný takovýhle příklad, který jsme teď řešili ( $\log_{4}(8-|x-3|) < 1$ ) kde mě to po odstranění logaritmů vyjde $(8-|x-3|) < 4$ tak poté si to rozdělím na 2 části(jakoby) ?

Čili:

1. část příkladu: $(8-|x-3|) < 4$ kde přehodím osmičku na pravou stranu a vynásobím -1 vyjde: $|x-3| > 4$

2. část příkladu: $8-|x-3|>0$ / Po převedení osmičky na pravou stranu a vynásobení -1 vyjde: $|x-3|<8$

Protože jsem zvyklý řešit příklady, kde to číslo na levé straně NAVÍC není (V tomto případě to byla osmička, bez osmičky by příklad vypadal takto a byl lehčí: $\log_{4}|x-3| < 1$ Lehčí by byl protože by se to řešilo geometricky pouze pro - $|x-3| < 4$ (Po odstranění logaritmů)

Takže správný výsledek bude a) (-5,-1) u (7,11) že? Jestli se ještě můžu zeptat na jednu drobnost.. Proč se to násobí -1 (změní se zobák nerovnosti) po převedení čísla (V tomto případě se převádělo číslo 8) na pravou stranu? Násobí se to tou -1 vždy, nebo jen někdy?

misaH · 03. 06. 2014 19:45

↑ Spalker:

Násobilo sa číslom -1, lebo pri absolútnej hodnote bolo znamienko mínus.

Spalker · 03. 06. 2014 19:48

Takže pokud bude příklad $(8+|x-3|) < 4$ kde je znaménko plus, tak se to násobit -1 nebude a pouze se převede osmička ?

Děkuji.

misaH · 03. 06. 2014 19:51 — Editoval misaH (03. 06. 2014 19:52)

↑ Spalker:

Áno.

Intervaly mi vyšli ako Tebe.

Spalker · 03. 06. 2014 19:56

Mockrát děkuji. :)

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2014 18:13

Logaritmická nerovnice

#2 02. 06. 2014 18:24 — Editoval gadgetka (02. 06. 2014 18:26)

Re: Logaritmická nerovnice

#3 02. 06. 2014 18:34

Re: Logaritmická nerovnice

#4 02. 06. 2014 18:57

Re: Logaritmická nerovnice

#5 02. 06. 2014 19:01 — Editoval gadgetka (02. 06. 2014 19:03)

Re: Logaritmická nerovnice

#6 02. 06. 2014 20:23

Re: Logaritmická nerovnice

#7 03. 06. 2014 19:41

Re: Logaritmická nerovnice

#8 03. 06. 2014 19:45

Re: Logaritmická nerovnice

#9 03. 06. 2014 19:48

Re: Logaritmická nerovnice

#10 03. 06. 2014 19:51 — Editoval misaH (03. 06. 2014 19:52)

Re: Logaritmická nerovnice

#11 03. 06. 2014 19:56

Re: Logaritmická nerovnice

Zápatí