Matematické Fórum

Vektor111

Dobry den, prepacte ale zrejme mi unika pointa Steinitzovej vety, mam takuto definiciu:
Nech $a_{1}, ... , a_{n}$ su vektory, ktore generuju vektorovy priestor $V(F)$ . Nech $b_{1}, ..., b_{k} \in V(F)$ su linearne nezavisle. Potom $k \le n$ .

Chvilku som nad touto vetou uvazoval a nacrtol som si na papieri priestor, ktory je generovany vektormi $(0,1),(1,0)$ , v tomto pripade plati $n=2$ . Potom som nacrtol tri vektory, ktore su linearne nezavisle a to $(1,3),(3,2),(1,1)$ ktore su linearne nezavisle a patria do $V(F)$ , v tomto pripade ale plati $k=3$ , z coho vypliva ze nerovnost $k \le n$ zrejme neplati. Mozete mi prosim vysvetlit kde je chyba?

Rumburak · 07. 06. 2014 12:26

↑ Vektor111:

Ahoj.

Vektory $(1,3),(3,2),(1,1)$ ale NEJSOU lineárně nezávislé :

$1\cdot (1,3) + 2\cdot (3,2) - 7\cdot (1,1) = (0, 0)$ .

Vektor111

aha, takze su linearne zavisle. Ale zaujimalo by ma ako postupovat pri hladani skalarov $c_{1},...,c_{n}$ takych aby platilo: $c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2}+...+c_{n}a_{n}=(0,...,0)$ toto je totiz definicia linearne zavislych vektorov ktoru mam k dispozicii, neviem ci je uplne spravna.

Pri tychto troch vektoroch, moj postup je nasledovny:
$c_{1}(1,3)+c_{2}(3,2)+c_{3}(1,1)=(0,0)$ dostanem maticu s dvoma riadkami a tromi stlpcami a taka matica ma preca nekonecne vela rieseni tak ako je mozne ze ste dostali jedno riesenie?

Bati · 07. 06. 2014 13:15

↑ Vektor111:

↑ Rumburak: dostal vskutku nekoněčně řešení, ukázal pouze jedno. Všechny řešení tvé rovnice jsou $(t,2t,7t)$ , $t\in\mathbb{R}$ , jak se můžeš snadno přesvědčit.

Rumburak

↑ Vektor111:

Zásadní věcí je, že vektorová rovnice $x \cdot (1,3) + y \cdot (3,2) + z \cdot (1,1) = (0,0)$
(nerad pracuji s indexy) je ekvivalentní "středoškolské" soustavě rovnic

$x + 3y + z = 0 \\ 3x + 2y + z = 0$

(dostaneme ji, když vektorovou rovnici "rozepíšeme po složkách"), která má nekonečně mnoho řešení,
ale nám stačí nalézt jedno netriviální (kde aspoň jeden z kořenů je nenulový).
Postupoval jsem tak, že jsem druhou rovnici odečetl od první a do výsledné dosadil $x = 1$ -
dále jistě zřejmé.

Metodu přes matice si ještě projdi.

Vektor111 · 07. 06. 2014 14:02

rozumiem, dakujem Vam za vysvetlenie.

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2014 12:13 — Editoval Vektor111 (07. 06. 2014 12:14)

Steinitzova veta

#2 07. 06. 2014 12:26

Re: Steinitzova veta

#3 07. 06. 2014 12:41 — Editoval Vektor111 (07. 06. 2014 12:42)

Re: Steinitzova veta

#4 07. 06. 2014 13:15

Re: Steinitzova veta

#5 07. 06. 2014 13:23 — Editoval Rumburak (07. 06. 2014 13:24)

Re: Steinitzova veta

#6 07. 06. 2014 14:02

Re: Steinitzova veta

Zápatí