Matematické Fórum

okurka · 15. 02. 2009 12:22

Takže jsou zadány 4 body, které tvoří čtyřstěn. A[0,0,0] B[5,1,0] C[2,5,0] D[1,2,4]. Takže úkoly jsou takové. Nejdříve napište obecnou rovnici roviny, která je rovnoběžná se stranami AC a BD a prochází těžištěm, pro které platí T=1/4[A+B+C+D]. Pozenamávám, že podobný příklad, jsem tu už zakládal. Ale tady potřebuji pomoct ještě s dalšími kroky. Další úkol je určit řez MNPQ tou rovinou zadaným tělesem. A nakonec vypočtěte obsah řezu MNPQ. Tak jde mi hlavně o to,že nevím jak na to, a byl bych vděčný za nějké to nakopnutí, třeba i do zadku, hlavně když to pomůže. :o)

marnes · 15. 02. 2009 12:31

↑ okurka:
1. Rovnice roviny - AC BD jsou vektory směrové, jejich vektorový součin je normálový vektor roviny a T je bod, kterým prochází
2. Bych určil průsečíky s hranami čtyřstěnu
3. Čtyřúhelník MNPQ bych rozdělit na 2 trojúhelníky a vypočítal obsah těchto trojúhelníků

Tak třeba takto

okurka · 15. 02. 2009 12:38

↑ marnes:První dva kroky jsem udělal tak, jak jsi napsal. Jen u toho druhého kroku, u těch průsečíků, bych se chtěl zeptat, zda je možné, to udělat tímto postupem: jednotlivé hrany jsem si vyjádřil jako přímky parametricky. Po té jsem jednotlivé přímky dosadil do rovnice té roviny a vypočítal si parametr. Načež jsem dosadil parametr do parametrického vyjádření přímek a spočítal si souřadnice průsečíků. Je to dobře, nebo jsem se dopustil matematického zločinu? :o)

marnes · 15. 02. 2009 12:39

↑ okurka:
Podle mne dobrý

marnes · 15. 02. 2009 12:41

↑ okurka:
Navíc přímka v prostoru se vyjadřuje jen parametricky, tak mně jiný způsob nenapadá. Ale taky neznám vše, třeba někdo pomůže

okurka · 15. 02. 2009 12:42

↑ marnes:Tak díky za pomoc. Ještě mrknu na ten třetí úkol a zkusím spočítat obsah. Mimochodem ten obsah trojůhelníku se spočítá jako velikost vektoru vynásobená vzdáleností bodu od vektoru a celé to vydělím 2. Nebo je i nějaký jednodušší postup?

marnes · 16. 02. 2009 10:49

↑ okurka:
To co používáš ty je vlastně základna . výška děleno dvěma. Já znám ještě dva postupy
1. S =1/2. /u/./v/.sin alfa Kde /u/ a /v/ jsou velikosti vektorů, alfa je úhel mezi nimi
2. S = 1/2 / u x v/ kde / u x v/ je velikost vektorového součinu

okurka · 16. 02. 2009 10:58

↑ marnes:
Díky. Tohle řwšwní se mi zdá elegantnější a taky rychlejší. A taky tu člověk nenaseká tolik chyb. :o)

musixx · 16. 02. 2009 12:25 — Editoval musixx (16. 02. 2009 12:33)

Jen bych chtěl do vaší diksuze vložit, že počítám-li průsečík hrany s rovinou, tak sice mohu spočítat průsečík "nabízející se" přímky s touto rovinou, ale musím si pak dát pozor na to, aby se to protlo i s tou hranou, tedy úsečkou, která je podmnožinou uvažované přímky.

Jde-li o hranu AB, kde A a B jsou body, a napíši-li si parametrické vyjádření třeba jako $p\equiv X=A+t(B-A)$ , pak jde o to, že $t$ musí být mezi 0 a 1 (včetně), aby byl průsečík s úsečkou AB. Bohužel nemohu říct, že požadavek $0\leq t\leq1$ je dostatečný ve všech případech - stejná přímka má třeba parametrický předpis $p\equiv X=\frac{A+B}2+s(B-A)$ , resp. $p\equiv X=B+r(2B-2A)$ , a pak se úsečka pozná podle $-\frac12\leq s\leq\frac12$ , resp. $-\frac12\leq r\leq0$ , atd.

EDIT: A samozřejmě existují i jiné formy analytického vyjádření přímky: třeba úsekový tvar (ze kterého se snadno vyčtou průsečíky s osami / rovinami xy,xz,yz, resp. se rychle napíše, známe-li tyto průsečíky), taktéž obecný tvar (pak jde o jednoznačně určenou průsečnici dvou nerovnoběžných rovin v 3D).