Matematické Fórum

Exfdgr · 08. 06. 2014 20:24 — Editoval Exfdgr (08. 06. 2014 20:25)

Dobrý den, nedávno jsme měli v písemce příklad, vypočtěte moment setrvačnosti duté koule o vnitřním průměru R2, vnějším průměru R1 a hmotnosti m, bohužel jsem se ale učitele na poslední hodině zapomněl zeptat na správný výsledek. Ať jsem po internetu pátral sebevíc, tak žádný rozumný postup najít nepodařilo.

Při posledním výpočtu i vyšel výsledek $\frac{3}{5}.m.\frac{(R1^{5}-R2^{5})}{(R1^{3}-R2^{3})}$

darkorbit · 08. 06. 2014 21:05

Zdravím,

dostal som rovnaký výsledok (len predpokladám, že miesto 3/5 má byť 2/5).

Exfdgr · 08. 06. 2014 21:35

↑ darkorbit: Já právě našel na internetu výsledek, kde byly 2/5, ale nemůžu vůbec přijít na to, kde se tam vzaly.

darkorbit

Moment zotrvačnosti je aditívna veličina, teda ak sa sústava skladá z viacerých zložiek, momenty zotrvačností sa sčítavajú. Predstavím si teda homogénnu guľu s polomerom "R" a rozdelím ju na menšiu guľu s polomerom "r" a guľovú šupku (dutá guľa). Celkový moment zotrvačnosti takej gule je teda súčtom týchto dvoch momentov zotrvačností. Nech má veľká guľa hmotnosť "M" a menšia hmotnosť "m", mám potom:
$I_{cela}=\frac{2}{5}MR^{2}=I+I_{mala}=I+\frac{2}{5}mr^{2}$
Kde "I" som označil hľadaný moment zotrvačnosti dutej gule. Pretože sú gule homogénne, ich hmotnosti vyjadrím pomocou hustoty a mám:
$M=\frac{4}{3}\pi \varrho R^{3}$
$m=\frac{4}{3}\pi \varrho r^{3}$
Z prvej rovnice vyjadrím "I" a dosadím za hmotnosti:
$I=\frac{2}{5}(MR^{2}-mr^{2})=\frac{2}{5}\frac{4}{3}\pi \varrho (R^{5}-r^{5})$
Potrebujem do tohto vzťahu dopracovať hmotnosť šupky (dutej gule), tá je zjavne:
$\mu =M-m=\frac{4}{3}\pi \varrho (R^{3}-r^{3})$
Z tohto vzťahu už vyjadrím ten člen z hustotou, dosadím a mám (hmotnosť dutej gule preoznačím z toho gréckeho písmena na "m" :
$I=\frac{2}{5}m\frac{R^{5}-r^{5}}{R^{3}-r^{3}}$

Mám trochu iné označenie, ale nechcelo sa mi to indexovať, "R" je vonkajší polomer a "r" je vnútorný.