Matematické Fórum

Dia · 08. 06. 2014 14:05 — Editoval jelena (12. 06. 2014 21:32)

Debata pokračuje zde.

ahoj, vedeli by ste mi pomoct prosim s tymto integralom? mam zistit ci konverguje/diverguje $\int_{}^{}(ln(sinx)/x) dx$
v hraniciach od 0 po pi/2. funkcia nemeni znamienko, je stale zaporna, nie som si ista ci mozem pouzit porovnavacie kriterium s g(x)=-1/(x na alfu), kde mi ale limita vychadza nepekne, iba ked sa alfa=1, vtedy sa rovna nekonecnu a mozem dokazat ze diverguje (pre ine alfy limitu neviem vyratat)... vedeli by mi niekto pomoct ci to je spravne, popripade ako to mam riesit? dakujem

Edit (jelena): k řešení - děkuji kolegům Jarrro a Marianovi za podrbný rozbor

jelena · 08. 06. 2014 19:30 — Editoval jelena (12. 06. 2014 12:21)

Zdravím,

zadání je tak? $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln(\sin x)}{x} \d x$

a vyšetřovat se má u 0+ (jelikož v pi/2 žádný problém není). Já jsem zkusila srovnat s funkci $g(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ (s ohledem na hodnotu funkce sin(x)) a použitím limitního srovnávacího kritéria mi vyšlo, že integrál konverguje - edit: viz další debata v tématu - nevyšetřila jsem důsledně konvergenci integralu k porovnání, tedy můj závěr o konvergenci zadaného integrálu není správný.

Jak to vidíš? Děkuji.

Dia · 08. 06. 2014 20:39 — Editoval jelena (08. 06. 2014 21:50)

ano tak znie znenie, dakujem. nenapadlo ma to porovnat s takou g(x). len som si nie ista, limita f(x)/g(x) mi vychadza 1 a g(x) konverguje? to sa snazim zistit pomocou porovnania toho 1/(x na alfu) a vyjde mi $\lim_{x\to0}\frac{x^{\alpha-3}}{1-\alpha}$ pre alfy vacsie ako 3 mi vychadza konvergencia a pre mensie ako3 zaas divergencia, co robim zle? a co ma este myli je ze porovnavacie kriterium mame iba pre integraly nezapornych funckii a lnx od 0 po 1 je zaporna, tak teraz mam z toho trosku gulas, ospravedlnujem sa

Dia · 08. 06. 2014 21:17

preratala som to este raz a myslim ze lnx/x by mal divergovat... pouzila som obycajnu definiciu nevlastneho integralu a limita k nule mi vysla nekonecno cize by mal divergovat, je tak? tym padom by mal divergovat aj ten zadany?

jelena · 08. 06. 2014 21:58

↑ Dia:

Když to zkouším přes $1/x^{\alpha}$ , tak mi to zas vychází konvergentní (ale opět přes limitní). Ohledně znaménka funkce - myslím, že můžeme uvažovat vyšetření funkce v absolutní hodnotě.

$\frac{\ln(\sin x)}{x\cdot \frac{1}{x^{\alpha}}}\cdot \frac{\sin^{\alpha-1}}{\sin^{\alpha-1}}$ toto v limitě půjde k 0? Alespoň mně to tak jde.

No budeme doufat, že nás někdo najde a vyvede na správnou cestu.

Dia · 08. 06. 2014 22:08

ja som to ratala $\lim_{a\to0}\int_{a}^{1}\frac{lnx}{x}dx$ a ci uz per partes alebo substituciou mi to vzdy vyslo nekonecno co by mal byt divergentny integral. len uvadzam moj postup, ale tiez uvitam nazor niekoho tretieho, aby sa to konecne vyriesilo :)

jarrro · 08. 06. 2014 22:34 — Editoval jarrro (08. 06. 2014 22:38)

pri nekladných funkciách platí trochu obrátené porovnávacie kritérium teda ak väčší integrál diverguje tak diverguje aj menší
problém je len u nuly teda stačí skúmať
$\lim_{a\to0^{+}}\int_{a}^{1}\frac{lnx}{x}dx=\lim_{a\to 0^{+}}{\[\frac{\ln^2{x}}{2}\]_a^1}=\lim_{a\to 0^{+}}{0-\frac{\ln^2{a}}{2}}=-\infty$
teda musí aj pôvodný sínusový divergovať lebo na (0,1) je
$0\geq\frac{\ln{$x$}}{x}\geq\frac{\ln{$\sin{\(x$}\)}}{x}$

jelena · 08. 06. 2014 22:47

↑ jarrro:

děkuji velice (svého času jsem toto řešení vyměnila za borůvkový koláč), tak bych měla nabídnout něco podobného, nebo kolegyně ↑ Dia:.

Jak píše ↑ Dia:, to už jsem také překontrolovala ohledně divergence ln(x)/x, tedy v příspěvku ↑ 2: mám chybně vytvořený závěr, ale funkce k porovnání je zvolena vyhovující - alespoň něco. Děkuji za záchranu.

Dia · 08. 06. 2014 22:50

ta limita by mala vyjst + $\infty$ , lebo ked sa blizi k nule tak ln sa blizi do - $\infty$ , ci? v kazdom pripade velmi pekne dakujem to o tych zapornych integraloch som nevedela

jarrro · 08. 06. 2014 22:57 — Editoval jarrro (08. 06. 2014 22:58)

↑ Dia:ale mocnina logaritmu ide do kladného nekonečna a odčíta sa od nuly okrem toho nekladná funkcia nemôže mať kladný (konečný alebo nekonečný) integrál

jelena · 09. 06. 2014 10:11

↑ jarrro:

Zdravím, nijak nehoří, v čem se liší důkaz pro $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln(\sin x)}{\sqrt x} \d x$ ? Našla jsem toto zadání v diplomce o nevlastních integrálech, co se vždy odkazuji (a v Demidovič), když si představím chování (a i nechám vykreslit, což pravda není důkaz), tak nějaký rozdíl nevidím, ale WA už tento integrál vypočte (i ve výsledku je jako konverguje).

Ještě jsem prošla sbírku Eliaše a tento, co jsme diskutovali, je veden jako existující (tedy konverguje) - no řekni.

Marian · 11. 06. 2014 08:39

↑ jelena:

Situace týkající se integrálu

kde $\alpha\in\mathbb{R}^+_0$ , se má takto:

1. pro $\alpha\in\langle 0,1)$ konverguje,
2. pro $\alpha\in\langle 1,+\infty)$ diverguje do $-\infty$ .

V obojím případě lze provést odhady zadaného integrálu pomocí nerovnosti

Odtud dostaneme nerovnosti

ad 1. Pro $\alpha\ge 1$ integrál zcela vpravo diverguje do $-\infty$ , odkud již plyne divergence původního integrálu (také do $-\infty$ ).

ad 2. Pro $\alpha\in\langle 0,1)$ je integrál zcela vlevo konvergentní, odkud plyne omezenost původního integrálu (horním ohraničením je třeba nula). Odtud už není těžké odvodit jeho konvergenci (stačí využít monotonie integrandu na pozorovaném intervalu).

Postupovat je ale možno i podobně, jak je uvedeno v příspěvcích již dávno zapomenutého tématu o "májovém integrálu" zde.

jelena · 12. 06. 2014 12:45

↑ Marian:

Zdravím a děkuji velice!

Prošla jsem své řešení - největší nedůslednost byla, že jsem úplně odbyla vyšetření konvergence integrálu funkce k porovnání - doplnila jsem do editu ↑ příspěvek 2:. A do prvního příspěvku tématu odkaz na Tvůj příspěvek a na příspěvek Jarrro.

Postupovat je ale možno i podobně, jak je uvedeno v příspěvcích již dávno zapomenutého tématu o "májovém integrálu" zde.

také děkuji, ještě jsem prošla Fichtengolce (2. díl), kde vyšetření tohoto integrálu se věnuje z různých pohledů (v části nevlastních). Ve sbírce je k integrálu úvodního tématu chyba ve výsledku (alespoň ve vydání které mám a které patřilo nějakému OcDr. (tajemníkovi ČSAO) - nevěděl bys, co to je za titul? :-))

Děkuji.

Rumburak · 12. 06. 2014 15:53

Ahoj vespolek.

Je to ještě jednodušší. Předpokládejme, že $0 < x < \frac{\pi}{6}$ . Odtud postupně

$0 = \sin 0 < \sin x < \sin \frac{\pi}{6} = \frac {1}{2}$ ,
$\ln \sin x < \ln \frac {1}{2} = -\ln 2 < 0$ ,
$\frac {\ln \sin x}{x} < - \frac {\ln 2}{x} < 0$ .

Z posledního odhadu je divergence integrálu

$\int_0^{\delta} \frac{\ln \sin x}{x}\, \dx , 0 < \delta < \frac{\pi}{6}$

již patrná.

vanok · 12. 06. 2014 19:56

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Alebo este pokracovat to som naznacil tu http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=17709

Vsak taketo metody sa ucia uz v prvom rocniku vysokej skoly.

Nerozumiem, preco pouzivat archaicke metody, ked existuju na programe ucinne metody, vdaka dokazanym teoremam?

jelena · 12. 06. 2014 20:21

Zdravím,

↑ Rumburak: děkuji za další přínos k tématu.

↑ vanok: děkuji za upozornění na přesun do Zajímavých. Pokud budeš souhlasit, tak bych k tématu překopírovala z tohoto tématu jen "matematické příspěvky", ať můžete diskutovat věcně.

preco pouzivat archaicke metody

:-) Tím se myslí Fichtengolc z roku 1964? Pořád je považován za jednu z nejlepších učebnic.

vanok · 12. 06. 2014 20:41 — Editoval vanok (12. 06. 2014 21:01)

Pozdravujem ↑ jelena:,
Tu knihu nepoznam. Je citatelna in line?
Ale pouzitie pojmu ekvivalencie ( ci skor nepouzitie) je uzitocne (nepochopitelne).
Otvoril som vlakno na didaktiku, o konvergencii integralov.

Tvoja poznamka tykajuce sa presunu dolezitych casti do zaujimavych uloh, je vyborna.

jelena · 12. 06. 2014 21:17 — Editoval jelena (12. 06. 2014 21:31)

↑ vanok:

ano, ale jen v ruštině. Vydání je více. Autor. Překopíruji do tématu v zajímavých.

Rumburak · 13. 06. 2014 10:38

↑ vanok:

Ahoj.

Vsak taketo metody sa ucia uz v prvom rocniku vysokej skoly.

Nerozumiem, preco pouzivat archaicke metody, ked existuju na programe ucinne metody, vdaka dokazanym teoremam?

Ano, jde v podstatě o elementární metodu. Chtěl jsem ji jen připomenout vedle těch pokročileších.

vanok · 13. 06. 2014 11:26

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Ano rozumiem. Je pravda, ze je dobre ukazat viac ciest k rieseniu.

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2014 14:05 — Editoval jelena (12. 06. 2014 21:32)

divergencia integralu

#2 08. 06. 2014 19:30 — Editoval jelena (12. 06. 2014 12:21)

Re: divergencia integralu

#3 08. 06. 2014 20:39 — Editoval jelena (08. 06. 2014 21:50)

Re: divergencia integralu

#4 08. 06. 2014 21:17

Re: divergencia integralu

#5 08. 06. 2014 21:58

Re: divergencia integralu

#6 08. 06. 2014 22:08

Re: divergencia integralu

#7 08. 06. 2014 22:34 — Editoval jarrro (08. 06. 2014 22:38)

Re: divergencia integralu

#8 08. 06. 2014 22:47

Re: divergencia integralu

#9 08. 06. 2014 22:50

Re: divergencia integralu

#10 08. 06. 2014 22:57 — Editoval jarrro (08. 06. 2014 22:58)

Re: divergencia integralu

#11 09. 06. 2014 10:11

Re: divergencia integralu

#12 11. 06. 2014 08:39

Re: divergencia integralu

#13 12. 06. 2014 12:45

Re: divergencia integralu

#14 12. 06. 2014 15:53

Re: divergencia integralu

#15 12. 06. 2014 19:56

Re: divergencia integralu

#16 12. 06. 2014 20:21

Re: divergencia integralu

#17 12. 06. 2014 20:41 — Editoval vanok (12. 06. 2014 21:01)

Re: divergencia integralu

#18 12. 06. 2014 21:17 — Editoval jelena (12. 06. 2014 21:31)

Re: divergencia integralu

#19 13. 06. 2014 10:38

Re: divergencia integralu

#20 13. 06. 2014 11:26

Re: divergencia integralu

Zápatí