Matematické Fórum

itcrowd · 25. 06. 2014 09:11

Ahoj, chtěl bych se zeptat, zda moje řešení tohoto příkladu je správně.
Mějme lineární prostor $P_{4}$ polynomů stupně nejvýše 3, nechť M = $\{p \in P_{4}|{p(1)=p(0)=p(-1)=0}\}$ . Určete dimenzi a bázi podprostoru M.

$\begin{pmatrix} &1 & 1 & 1 & 0&|&0\\ &0 & 0 & 0 & 1&|& 0\\ &-1 & 1 & -1 & 0&|& 0 \end{pmatrix}$
a z této soustavy dostávám, že báze je rovna $B=<(1,0,-1,0)>$ a $dim B=1$

vanok · 25. 06. 2014 09:45 — Editoval vanok (25. 06. 2014 13:21)

Ahoj
Pracujem len na tvojej matici ( vobec som neoveril ako si k nej prisiel)
Dokonca mozes upravit aj posledny riadok a matica systemu sa da napisat
$\begin{pmatrix} &1 & 1 & 1 & 0&|&0\\ &0 & 0 & 0 & 1&|& 0\\ &0 & 1 & 0 & 0 &|&0 \end{pmatrix}$
Co da este
$\begin{pmatrix} &1 & 0 & 1 & 0&|&0\\ &0 & 0 & 0 & 1&|& 0\\ &0 & 1 & 0 & 0 &|&0 \end{pmatrix}$

Jeho riesenie je
$x_1=-s\\x_2=0\\x_3=s\\x_4=0$
Potom priestor rieseni je
$\{s(-1,0,1,0)|s \in R \}$
Toto ti umoznuje napisat jeho bazu a urcit dim.( ktora je 1)

Tvoja vysledok , co si vyssie napisal je korektny.( az na to, jedna baza je $B= \{(1,0,-1,0) \}$ , to co pisés je priestor rieseni tvojeho systèmu)

Oprava urobena (spatne citanie textu cvicenia)

Rumburak

Ahoj.

Výsledek je podle mne správně.

Ale možná by to chtělo blíže vysvětlit postup, odkud se vzala ta matice atd. (já bych řešil úlohu zcela jinak
a myslím, že jednodušeji, Tvému řešení - přiznám se - nerozumím).

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Zdravím kolegu Vanka.

itcrowd · 25. 06. 2014 11:12

↑ vanok:
Mohu se jenom zeptat proč mohu vynechat poslední řádek té matice? Přijdu tak přece o výsledek druhé proměnné.
A proč zavádím 2 parametry, když mám 3 rovnice pro 4 neznámé?
↑ Rumburak:
obecný polynom 3. stupně má tvar $ax^3+bx^2+cx+d$ a do tohoto obecného tvaru jsem za hodnotu x postupně dosadil -1,0,1a dostal výše uvedené 3 rovnice.

Rumburak · 25. 06. 2014 11:46

↑ itcrowd:

Díky, už je mi to jasné.

vanok · 25. 06. 2014 12:21 — Editoval vanok (25. 06. 2014 13:08)

Treba len 1 paramèter, lebo ak vyjadris z prvej rovnice napr x1, vidis ze zavisi na len na x3... Ktory moze byt lubovolne vybrany ( tak ho vyberieme ako parameter)

Poznamka: spatne som cital tvoj prispevok. Prepac. Teraz je to opravene.

Rumburak · 25. 06. 2014 12:34

↑ vanok:

Ahoj.

Nerozumím, proč je možné z té matice

$\begin{pmatrix} &1 & 1 & 1 & 0&|&0\\ &0 & 0 & 0 & 1&|& 0\\ &-1 & 1 & -1 & 0&|& 0 \end{pmatrix}$

vypustit její poslední řádek. Připadá mi, že je-li $p$ polynom stupně nejvýše 3, pak z rovnic $p(0) = p(1) = 0$
nevyplývá nutně $p(-1) = 0$ . Nebo jsem něco přehlédl ?

vanok · 25. 06. 2014 12:53 — Editoval vanok (25. 06. 2014 13:03)

Ahoj
Dakujem
To so' sa jà pomylil, cital som -1,-1,-1,0.
Opravim moje prispevoky

itcrowd · 25. 06. 2014 13:13

Děkuji za pomoc. Vyřešeno.

vanok · 25. 06. 2014 13:35 — Editoval vanok (25. 06. 2014 13:36)

Poznamka:( maly detail)
Polynom $p:p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
da
$p(1)=a+b +c +d=0\\p(0)=d=0\\p(-1)=-a+b- c +d=0$
Co da po malych upravach tu istu maticovu representaciu ako tvoju, no
vsak potom nezname su $a,b,c,d$ a nie $x_1,x_2,x_3,x_4$
ako som predvidal.